宁波市2015年高考模拟考试

数学（理科）试题

说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

参考公式：

柱体的体积公式：
其中S表示柱体的底面积，
表示柱体的高

锥体的体积公式：
其中S表示锥体的底面积，
表示锥体的高

台体的体积公式：
其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高

球的表面积公式：
球的体积公式：
其中
表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1、下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是 （ ）

A.y=x－1 B. y=(
)x C. y=x+
D. y=ln(x+1)

2、设a∈R，则“a=－
”是“直线l1: ax+2y－1=0与直线l2: x+a(a+1)y+4=0垂直”的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

3、将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视图为 （ ）







A. B. C. D.

4、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是 （ ）

A.m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n B. m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n

C. m⊥α， n(β， m⊥n，则α⊥β D.m(α，n(α，m∥β，n∥β，则α∥β

5、已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 11

6、将函数f(x)=2sin(2x+
)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=
对称，则φ的最小值为 （ ）

A.
B.
C.
D.

7、在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆
上的一个动点，点C在线段OA的延长线上，当
＝20时，点C的轨迹为 （ ）

A. 椭圆一部分 B.抛物线一段 C. 线段 D. 圆弧

8、已知点(x，y)的坐标满足条件
，且x，y均为正整数。若4x－y取到最大值8，则整数a的最大值为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共7小题。前4题每空3分，后3题每空4分，共36分．

9、已知集合A={x|(x－2)(x+5)<0}，B={x|x2－2x－3≥0}，全集U=R，则A∩B= ▲ ，A∪(CUB)= ▲

10、已知
，则
的值是 ▲__，
的值是 ▲__

11、已知f(x)=
则f(3)= ▲ ；若关于x的方程f(x)=ax+1恰有三个不同的解，则实数a的取值范围为▲

12、设Sn为数列｛an｝的前n项和，a1=1，a2=3，Sk+2+Sk－2Sk+1=2对任意正整数k成立，则an= ▲ ，

Sn= ▲ .

13、设P为双曲线
在第一象限的一个动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，若A，B始终在第一或第二象限内，则该双曲线离心率e的取值范围为 ▲ 。

14、已知
，
，若
，则
与
夹角的余弦值的最小值等于 ▲

15、若对任意α∈R，直线l: xcosα+ysinα=2sin(α+
)+4与圆C: (x－m)2+(y－
m)2=1均无公共点，

则实数m的取值范围是 ▲

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、（本题满分15分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
.

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）已知△ABC不是钝角三角形，且c=
，

求△ABC的面积。

17、（本题满分15分）

如图，正四棱锥S－ABCD中，SA=AB，

E，F，G分别为BC，SC，CD的中点。

设P为线段FG上任意一点。

（Ⅰ）求证：EP⊥AC；

（Ⅱ）当直线CP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P－BD－S的平面角的余弦值。







18、（本题满分15分）

如图， F是椭圆
的左焦点，椭圆的离心率为
。A，B为椭圆的左顶点和上顶点，点C在x轴上，BC⊥BF，△BCF的外接圆M恰好与直线
相切。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点C的直线l2与已知椭圆交于P，Q两点，

且
，求直线l2的方程。







19.（本题满分15分）

已知m为实数，且
，数列
的前n项和Sn满足

（Ⅰ）求证：数列
为等比数列，并求出公比q；

（Ⅱ）若
对任意正整数n成立，求证：当m取到最小整数时，对于n≥4，n∈N，

都有

20、（本题满分14分）

设函数f(x)=x|x－a|+b，a，b∈R

（Ⅰ）当a>0时，讨论函数f(x)的零点个数；

（Ⅱ）若对于给定的实数a(－1

对于任意
恒成立。试将最大实数b表示为关于a的函数m(a)，

并求m(a)的取值范围。

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