临川一中2015届高三模拟试题 2015.5.4.

理科数学

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合
，
，那么

A．
B．
C．
D．

2.若复数
满足
，则复数
的共轭复数
的虚部为

A．
B．
C．
D．

3.已知函数

的值域为
，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

4.以下四个命题中

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；[来源:gkstk.Com]

②对于命题
：
使得
. 则

：
均有
；

③设随机变量
，若
，则
；

④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近于1.

其中真命题的个数为[来

A．1 B．2 C．3 　 D．4

5.数列
满足
且
，则数列
的第100项为

A．
B．
C．
D．

6.设
，
，
，则
，
，
的大小关系为

A．
B．
C．
D．

7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如右图所示的正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为
(
=1，2，
，6)，则棋子就按逆时针方向行走
个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有

A．22种 B．24种 C．25种 D．36种

8. 阅读如下程序框图，如果输出
，那么空白的判断框中应填入的条件是

A．
B．
C．
D．

9. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆。垂直于x轴的直线
经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数
的大致图像如右图，那么平面图形的形状不可能是

10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，

则几何体的外接球的表面积为

A．
B．

C．
D．

11.已知椭圆C1：
，双曲线C2：
，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为

A．
B．5 C．
D．

12.定义域为R的偶函数
满足：对
，有
，且当
时，
若函数
在(0，+
)上至少有三个零点，则实数
的取值范围为

A．（0，
） B．（0，
） C．（0，
） D．（0，
）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 如图，在
中，
为
的中点，
为
上任一点，

且
，则
的最小值为_______.

14.已知
的展开式中没有常数项，
，且
，则
=______．

15.若直线
上存在点
满足约束条件
，则实数
的最大值为

16.平面直角坐标系中，若
与
都是整数，就称点
为整点，下列命题正确的是____

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果
与
都是无理数，则直线
不经过任何整点

③直线
经过无穷多个整点，当且仅当
经过两个不同的整点

④直线
经过无穷多个整点的充分必要条件是：
与
都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）

已知

（1）最小正周期及单调增区间；

（2）已知锐角
的内角
的对边分别为
,且
,
,

求
边上的高的最大值．

18.（本小题满分12分）

一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取
个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为
，
，
，
，由此得到样本的重量频率分布直方图（如下图），

（1）求
的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取
个小球，其中重量在
内的小球个数为
，求
的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).

19.（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，

∠BAD＝∠CDA＝90?，
，M是线段AE上的动点．

（1）试确定点M的位置，使AC
平面DMF，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：
=1（
）的离心率与双曲线
=1的一条渐近线的斜率相等，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切（
为常数）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点
的直线与椭圆
相交
两点，设
为椭圆上一点，且满足
（
为坐标原点），当
时，求实数
取值范围．

21.（本小题满分12分）

己知函数

(1)若关于
的不等式
恒成立，求整数
的最小值;

(2)若
，正实数
满足
，证明:
.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是

⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直

线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.

(1)求证：C，D，E，F四点共圆；

(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（
为参数）．

(1)求曲线
的直角坐标方程与直线
的普通方程；

(2)设点
，若直线
与曲线
交于
，
两点，且
，求实数
的值．[来]

24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

已知正实数
满足：
.

（1）求
的最小值
;

（2）设函数
，对于（1）中求得的
，是否存在实数
，使得
成立，说明理由.

临川一中2015届高三模拟试题(理数答案) 2015.5.4.

13. 9 14. 5 15. 1 16. ①③⑤

17. （1）

,
……6分

（2）由
得

由余弦定理得

设
边上的高为
,由三角形等面积法知

,即
的最大值为
． ……12分

18. 解：（1）由题意，得
，解得
；…2分

又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克，…4分

而
个样本小球重量的平均值为：

（克）

故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为
克； ……6分

（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在
内的概率为
，则
.

的取值为
、
、
、
，
，
，

，
. ……10分
























的分布列为：

.（或者
） ……12分

19. 解析：（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．证明如下：

连结CE，交DF于N，连结MN，

由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，

由于MN
平面DMF，又AC
平面DMF，所以AC∥平面DMF． 4分

（Ⅱ）方法一、过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，由于AC∥平面DMF，可知AC∥l，过点M作MG⊥AD于G，因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，

所以DE⊥平面ABCD，则平面ADE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，过G作GH⊥l于H，连结MH，则直线l⊥平面MGH，所以l⊥MH，

故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角． 8分

设
，则
，
，

，则
， 11分

所以
，即所求二面角的余弦值为
． 12分

方法二、因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE两两垂直，分别以
，
，
的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz．设
，则
，
，
，
，

设平面MDF的法向量
，

则
所以

令
，得平面MDF的一个法向量
， 8分

取平面ABCD的法向量
， 9分

由
， 11分

故平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为
． 12分

20. 解：（1）由题意知双曲线
的一渐近线斜率值为

，

因为
，所以
．故椭圆
的方程为
???????5分

（2）设
?
方程为
?

由
? 整理得
．

由

，解得
．

，
………………7分

∴
则
,

， 由点
在椭圆上，代入椭圆方程得
①…9分

又由
，即
，

将
，
，

代入得
则
,
， ∴
② …11分

由①，得
，联立②，解得

∴
或
………………12分

21. （1）方法一：令
，

所以
．

当
时，因为
，所以
,所以
在
上是递增函数，

又因为
，

所以关于
的不等式
不能恒成立．……………………………………2分

当
时，
，

令
，得
．所以当
时，
；当
时，
，

因此函数
在
是增函数，在
是减函数．

故函数
的最大值为
…4分

令
，因为
，
，又因为
在
是减函数．所以当
时，
．所以整数