2015年石家庄市高三数学第二次模拟考试

（理科答案）

选择题：

1-5 CCAAB 6-10 AABAD 11-12 DB

填空题：

13.
14.

15
16.

三、解答题：

17.解: （Ⅰ）

…………………………1分

…………………………3分

∴
…………………………5分

∴
…………………………6分

(Ⅱ) 由
得a c＝4…………………………8分.

由余弦定理得b2＝a2＋c2+ac
…………………10分

∴ a＋c
…………………………12分

18．解（1）完成下面的
列联表如下

非读书迷

读书迷

合计



男

40

15

55



女

20

25

45



合计

60

40

100



 ……………… 3分

≈8.249

8.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关。...……………..6分

（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为
. 由题意可知X～B（3，
），P(x=i)=
（i=0，1，2，3）………………8分

从而分布列为

X

0

1

2

3



P











.……………… 10分

E(x)=np=
(或0.6)，D(x)=np(1-p）=
(或0.72) ……………… 12分

19.（1）证明：

因为PA⊥平面ABCD，PA
平面ADP，

所以平面ADP⊥平面ABCD. …………………………………………2分

又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，

所以CD⊥平面ADP. ……………………………………………………4分

（2）AD，AP，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系，

则A（0，0，0），B（0，0，1），

C（4，0，4），P（0，4，0），则
，
，
，
.………………………………6分

设M（x, y , z),

，则
.

所以


，
，

，
.

因为BM⊥AC，所以
，

，解得
，

所以M
，. …………………………………………8分

设
为平面ABM的法向量，

则
，又因为
，

所以
.

令
得
为平面ABM的一个法向量.

又因为AP⊥平面ABC，所以
为平面ABC的一个法向量.…………………10分

，

所以二面角C—AB—M的余弦值为
.…………………………12分

法2：

在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，

在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分，

因为AP⊥平面ABCD，

所以HM⊥平面ABCD.

又因为AC
平面ABCD，

所以HM⊥AC.

又BH∩HM=H, BH
平面BHM，HM
平面BHM，

所以AC⊥平面BHM.

所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分

在直角
中，AH=
，

又AC=
，所以
.

又HM∥AP，所以在
中，
.

在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在
中，
.

因为AB∥CD，所以MN∥BA.

连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP.

所以AB⊥AD，AB⊥AN.

所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分

在
中，过点N作NS∥PA交DA于S，则
，

所以AS=
，
，所以NA=
.

所以
.

所以二面角C—AB—M的余弦值为
. …………………………………………12分

20．解：（Ⅰ）由题意得
，解得
，
．

所以椭圆
的方程是
． ……………………… 4分

（Ⅱ）设直线
的方程设为
，设
，

联立
消去
得

则有
，
，

由
；

…………… 6分

设
的中点为
，则
，

因为直线
于直线
垂直，所以
得
………… 8分

因为
所以
,

所以
，由点到直线距离公式和弦长公式可得
，

………10分

由
和
解得

，

直线
的方程为
或
. ………… 12分

解法二

（Ⅱ）设直线
的斜率为
，设
，
的中点为
，

所以
，

，

由题意
，

式
式得

又因为直线
与直线
垂直，所以

由
解得
…………… 6分

因为
所以
,

所以
， ………8分

设直线
的方程设为
，

联立
消去
得

，
，

由

………10分

，解得
，满足
.

，由
得直线
的方程为
或
. ……… 12分

21.解析：（1）
.

若
，则
恒成立，所以，
在区间
上单调递增.........2分

若
，当
时，
，
在
上单调递增.

综上，当
时，
的增区间为
；当
时，
的增区间为
.

........................................................ 4分

（2）由于
，所以，

当
时，
，故
————①......6分

令
，则

函数
在
上单调递增，而

所以
在
上存在唯一的零点，

故
在
上存在唯一的零点. .............................8分

设此零点为
，则
.

当
时，
；当
时，
；

所以，
在
上的最小值为
.由
可得
.........................................................10分

所以，
由于①式等价于
.

故整数
的最大值为2. .............................................12分

22．解析：（1）连接
，
，

因为
，所以
，.................2分

又因为
，

则
，

所以
四点共圆.………………5分

（2）因为
和
是
的两条割线，

所以
，……………7分

因为
四点共圆,

所以
，又因为
，

则
∽
，

所以
，即

则
.………………10分

23．解析：（1）将直线

（
为参数）消去参数
，化为普通方程
，……………………2分

将
代入
得
.…………4分

（2）方法一：
的普通方程为
.………………6分

由
解得：
或
………………8分

所以
与
交点的极坐标分别为：
，
.………………10分

方法二：由
，……………6分

得：
，又因为
………………8分

所以
或

所以
与
交点的极坐标分别为：
，
.………………10分

24．解析：（1）当
时，

无解，

，

………………………3分

综上，不等式的解集为
.………………5分

（2）
，转化为

令