岳阳市2015届高三教学质量检测试卷（二）

数学（文科）

本试卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分，共21题，时量120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）．

1．已知全集
，集合
，集合
，则

为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．如图程序运行后,输出的值是（ ）

A．-4????? B．5 ?? C．9???? D. 14

3．甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如下图，中间一

列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字。若甲、乙两人

的平均成绩分别是
、
，则下列说法正确的是（ ）

A．
，甲比乙成绩稳定

B．
，乙比甲成绩稳定

C．
，甲比乙成绩稳定

D．
，乙比甲成绩稳定

4．已知平面
不重合，直线
，那么“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5．若直线
与圆
相交于P、Q两点，且
（其中
为原点），

则
的值为（ ）

A．
B．1 C．
或
D．
或1

6．函数
（
，
）的图象如图所示，

则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知x、y
，不等式组
所表示的平面区域的面积为6，则实数
的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知椭圆
的左焦点为
，右顶点为
，点
在椭圆上，且

轴，直线
交
轴于点
．若
，则椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
，
是平面内一组单位正交基底，若向量
满足
,则
的最大值

是（ ）

A．1 B．2 C．
D．

10．设
，若函数
有零点，则实数t的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）

11．已知
，
，
为虚数单位，且
，则
．

12．已知曲线
的参数方程是

，点

在曲线
上，则
．

13．三棱锥
及其三视图中的主视图和左视图如图所示，

则棱
的长为_________.

14．已知
都是正实数，且
，则
的最小值是

_______．

15．把数列
的项依次按以下规则排在括号内：第一个括号一个数，第二个括号两个数，

第三个括号三个数，第四个括号四个数；第五个括号一个数，第六个括号两个数，……，

依次类推，分别为：

（3）， （5，7）， （9，11，13），（15，17，19，21），

（23），（25，27）， （29，31，33），（35，37，39，41），

（43），（45，47），……，

则（1）第104个括号内各数之和为 .

（2）奇数2015在第 个括号内.

三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

2016年欧洲杯将于2016年6月10日到7月10日在法国举行。为了使得赛会有序进行，欧足联在全球范围内选聘了30名志愿者（其中男性16名，女性14名）。调查发现，男性中有10人会英语，女性中有6人会英语。

（1）根据以上数据完成以下
列联表：

会英语

不会英语

总计



男性









女性









总计





30



并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会英语有关？

参考公式：
，其中

参考数据：

P（K2≥k0）

0.40

0.25

0.10

0.010



k0

0. 708

1.323

2.706

6.635



（2）会英语的6名女性志愿者中曾有4人在法国工作过，若从会英语的6名女性志愿者

中随机抽取2人做导游，则抽出的2人都在法国工作过的概率是多少？

17．（本小题满分12分）

如图、已知直三棱柱
中，
，

，
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的平面角的余

弦值.

18．（本小题满分12分）

已知各项均为正数的等比数列
的首项
，
为其前n项和，若
，
，
成等差数列.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，
，记数列
的前n项和
.若对
，

恒成立，求实数k的取值范围.

19．（本小题满分13分）

我市湘阴县地处长沙北部、南洞庭湖滨，是长株潭“两型社会”综合配套改革试验区核心区——滨湖示范区的重要组成部分，是全省承接产业发展加工贸易试点县和全省最具投资吸引力的五个县之一。在市委市政府的指导下，计划于2015年在湘阴县长湘公路一侧建设一新型工业园。利用已有地形，现拟在乡村公路上某处C到长湘公路某处B新建一条长为
公里的公路，围成一个三角形区域建设工业园（如图所示）。已知
。

（1）若
，求工业园的面积.

（2）求工业园面积的最大值.

20．（本小题满分13分）

已知平面内一动点P到点
的距离与点P到直线
：
的距离相等.

（1）求点P的轨迹C的方程.

（2）点Q为直线
上一点，过点Q作C的切线分别交C于A、B两点，

①求证：直线AB过点F；

②求证：以AB为直径的圆与
相切.

21．（本小题满分13分）

已知函数
，其中e为自然底数.

（1）求函数
的极值；

（2）若函数
的导函数
在
上是增函数，求实数a的取

值范围；

（3）求证：
（
）.

岳阳市2015届高三教学质量检测试卷（二）

数学（文科）参考答案

一、选择题

1-5 CABAD 6-10BBDCC

二、填空题

11．
12．4 13.
14．8

15.解：（1）第104个括号内各数为：515，517，519，521，和为2072.

（2）2015在第404个括号内.

三、解答题

16.（本小题满分12分）

解：（1）如下表

会英语

不会英语

总计



男性

10

6

16



女性

6

8

14



总计

16

14

30



假设：是否会英语与性别无关.由已知数据可求得

所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会英语与性别有关。……6分

（2）会英语的6名女性志愿者分别设为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D曾在法国工作过.

则从这6人中任取2人有AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共15种.????? ?????????????????? ????………9分

其中2人都在法国工作过的是AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种. ………11分

所以抽出的女志愿者中，2人都在法国工作过的概率是
．? ………12分

17.（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）因
， D为AB的中点，故
………………2分

又直三棱柱中，
平面ABC ，故
…………………4分

平面
,故
……………………5分

（Ⅱ）：由（Ⅰ）
平面
，

，
，

故
为所求的二面角
的平面角。……………………7分

，又
平面
，所以
,

平面
，

，………………………………9分

由

， 因此
得
,

………………………11分

在
中，由余弦定理得
……12分

18、（本小题满分12分）解：（1）设
的公比为q

由已知有
，即
……2分

化简得
解得：
或
……………………4分

因为数列
的各项均为正数，

不合题意

的通项公式为：
…………………6分

（2）由（1）有
，

…………8分

即
……11分

实数k的取值范围为
.………………12分

19、（本小题满分13分）

解：（1）


由正弦定理
及
得

…………3分

而

……………………………………………………6分

（2）

由余弦定理得
………………9分

，

，当且仅当
时取等号.

的最大值为
.………………………………12分

答：（1）工业园的面积为
平方公里；

（2）工业园面积的最大值为
平方公里.…………………………13分

20、（本小题满分13分）

解：（1）由题意可知，动点P的轨迹为抛物线，且开口向上，
，

因此其方程为
.………………………………………………3分

（2）设点
，易知过点Q且与抛物线C相切的直线的斜率存在，

设为k，则切线的方程为

代入
中消去y有

即
………………5分

设
、
的斜率分别为
、
，则
，
………7分

将
、
分别与
联立

可求得
、



直线AB过点F …………………………………………10分

 设以AB为直径的圆的圆心为M，则

即
此时点M的横坐标与点Q的横坐标相等，

又

，

，
点Q在以AB为直径的圆上

以AB为直径的圆与
相切（切点为Q）. …………13分

21、（本小题满分13分）

解：（1）
令
解之得
……………………1分

当x变化时
、
的变化情况如下表：

x

（-∞，0）

0

（0，+∞）



f’(x)



0





f(x)



极小值







在R上有极小值，
.………………………………3分

（2）
，令

由于
在
上是增函数，故
…………………5分

从而
在
上恒成立

……………………………7分