岳阳市2015届高三教学质量检测试卷（二）

数学（理科）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合

，若
，则
=（ ）

A.1 B. ―1 C.
1 D. 0

2. 已知
为不重合的两个平面，直线
，那么“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.

A．
B．
C．
D．

4．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶

图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为
图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。那么算法流

程图输出的结果是（ ）

A．

B．

C．

D．11

5．已知向量
，且
,若
均为正数,则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．8 D．24

6．已知双曲线
的离心率为
，一条渐近线为
，抛物线
：

的焦点为
，点
为直线
与抛物线
异于原点的交点，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 一只蚂蚁从正方体
的顶点
处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行

到达顶点
位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是：

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

8. 已知
是单位圆上的动点，且
，单位圆的圆心为
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若
，则
的值为( )

A．3 B．0 C．―1 D．―3

10．已知定义在R上的函数
满足：
，

，则方程
在区间
上的所有实根之和为( )

A. ―7 B. ―8 C. ―9 D. ―10

二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。

（一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．已知直角坐标系
中，直线l的参数方程为
. 以直角坐标系xOy

中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为

（
＞0，0≤
＜
），则圆心C到直线l的距离为 .

12．如图，在
中，斜边
，直角边
，如果以C

为圆心的圆与AB相切于
，则
的半径长为 .

13．不等式
的解集是　 　 　 　.

（二）必做题（14—16题）

14．计算定积分
.

15．在平面直角坐标系中，不等式组
（
）表示的平面区域的面积为5，直线
x―y+
=0过该平面区域，则
的最大值是 .

16．已知数列
满足
，
，定义：使乘积
为

正整数的k
叫做“简易数”.

（1）若k=3时，则
;

（2）求在[3，2015]内所有“简易数”的和为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）已知函数
，
，

（1）求
的单调递增区间；

（2）将
的图象向左平移
(
)个单位后得到偶函数
的图象，求

的最小值.

18．（本小题满分12分）某同学参加某高校自主招生
门课程的考试．假设该同学第一门课程

取得优秀成绩的概率为
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为
、
（
），

且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记
为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：








[]

















（1）求该生至少有
门课程取得优秀成绩的概率及
，
的值；

（2）求数学期望
．

19．（本小题满分12分）如图一所示，四边形
为等腰梯形，
∥
，
，

，
、
分别为
、
的中点，将梯形
沿直线
折起，使得平面

平面
，得到如图二所示的三棱台
，
为
的中点.

（1）求证：

平面
；

（2）若直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求三棱锥
的体积.

20. （本小题满分13分）岳阳市为了改善整个城市的交通状况,对过洞庭大桥的车辆通行能力

进行调查。统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度
（单位：千米/小时）是

车流密度
（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵

塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆 /千米时，车流速度为85千米/小时，研

究表明：当
时，车流速度
是车流密度
的一次函数.

（1）当
时，求函数
的表达式；

（2）当车流密度
为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆

/小时）
可以达到最大，并求出最大值.

21.（本小题满分13分）已知椭圆E:

与双曲线G：
共焦

点，
是双曲线的左、右焦点，
是椭圆E与双曲线G的一个交点，O为坐标原点，

的周长为
。（1）求椭圆E的方程；

（2）已知动直线
与椭圆E恒有两个不同交点
，且
，求
面积的取

值范围.

22.（本小题满分13分）已知函数
的最小值为
，其中
.

（1）求
的值；

（2）若对任意的
,有
成立,求实数
的最小值;

（3）证明

.

岳阳市2015届高三第二次质量检测试题

数学(理科)参考答案

一、选择题：1-5 CADCC 6-10 DCBCA

二、填空题：（一）选做题（11—13题）11．
12．
13． {
}

（二）必做题（14—16题）14．
15．
16．（1）2；（2）2035

三、解答题：

17．（本题满分12分）解：(1) 法一：因为

=

=
=
………3分

法二：因为

=

=
=
………3分

由
得
………5分

所以
的单调递增区间为

; ………6分

由 (1) 可知，
………8分

因为函数
为偶函数，所以函数
的图象关于
轴对称

所以
所以

………10分

又因为
，所以当
时
取得最小值
。…………12分

18．（本小题满分12分）解：用
表示“该生第
门课程取得优秀成绩”，
=1，2，3

由题意得

…………2分

该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为

由

及
………4分

又由
，得
…………6分

………8分

………10分

ξ

0

1

2

3















∴?

∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为
…………12分

19．（本题满分12分）解：法一：

（1）在等腰梯形
中，
、
分别为两底
、
的中点，所以
，所以在三棱台
中，
，
，又
，所以
，所以
，又
，
为
的中点，所以
，因为
，所以

平面
。 ……………… 6分

（2）如图所示，取AD的中点F，连结BF、BO1、O1F、FE，则
、
、
、
四点共面。

设点O1到平面ABCD的距离为h。

由平面

平面
及
知
，又
，所以
，同理
，所以
，………………8分

由

平面
且
得

所以
………①

因为

又易知四边形
为等腰梯形，所以

所以

所以
………②

由①②得

又

由题意得
=

解得
或
……………………10分

所以

或
……………12分

法二：在等腰梯形
中，
、
分别为两底
、
的中点，所以
，所以在三棱台
中，
，
，又
，所以
，又平面

平面
，

所以
。

以
为坐标原点，分别以
，
，