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2015年长沙市高考模拟试卷

理 科 数 学

长沙市教科院组织名优教师联合命制

满分：150分 时量：120分钟

说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数
满足
，则
=

A．
B．
C．
D．

2．设
是两个非零向量，则“
”是“
夹角为钝角”的

A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　　 D．既不充分也不必要条件

3．某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14

时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知

9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为

A．10万元 B．15万元

C．20万元 D．25万元

4．执行如右图所示的程序框图,若输出
的值为22，那么输入

的
值等于

A．6 B．7

C．8 D．9

5．如图，矩形
的四个顶点

正弦曲线
和余弦曲线
在矩形
内

交于点F，向矩形
区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是

A．
B．

C．
D．

6. 设函数f（x）=sin（2
）+
cos（2
）

，且其图象关于直线x=0对称，则

A．y =f（x）的最小正周期为
，且在（0，
）上为增函数

B．y =f（x）的最小正周期为
，且在（0，
）上为增函数

C．y =f（x）的最小正周期为
，且在（0，
）上为减函数

D．y =f（x）的最小正周期为
，且在（0，
）上为减函数

7. 已知
为椭圆
的两个焦点，P在椭圆上且满足
，则此椭圆离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8. 已知函数
，设方程
的四个实根从小到

大依次为
，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）。

9. 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交

圆于B，C两点.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．

10. 在极坐标系内，已知曲线C1的方程为
，以极点为

原点，极轴方向为
正半轴方向，利用相同单位长度建立平面

直角坐标系，曲线C2的参数方程为
(
为参数)．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角的最大值是_______．

11. 不等式
对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为 ．

（二）必做题（12~16题）

12. 三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积

等于 .

13. 二项式
的展开式中常数项为

（用数字作答）。

14. 已知x，y满足约束条件
若z＝y－ax

取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）

A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1

15. 已知数列
中，
，

b=1时，
=12; ②存在
，数列
成等比数列；

③当
时，数列
是递增数列；④当
时数列
是递增数列

以上命题为真命题的是 .（写出所有真命题对应的序号）。

16. 若函数 y =f（x）在定义域内给定区间上存在xo（a

（1）若函数，f（x）= x2-mx-1是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是 ．

（2）若f（x）=㏑x是区间（b>a≥1）上的“平均值函数”，xo是它的一个均值点，则㏑xo与
的大小关系是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立.

课 程

初等代数

平面几何

初等数论

微积分初步



合格的概率











（Ⅰ）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；

（Ⅱ）记
表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求
的分布列及期望
．

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
, 点
是
的中点，
，且交
于点
．

（Ⅰ）求证:
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分12分）节能减排是现代生活的追求。长沙地区某一天的温度（单位：
）随时间
（单位：小时）的变化近似满足函数关系：
，

且早上8时的温度为
，
．

（Ⅰ）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？

（Ⅱ）某通宵营业的超市，为节约能源和开支，在环境温度超过
时，才开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？

20．（本小题满分13分）已知无穷数列
的各项均为正整数，
为数列
的前
项和．

（Ⅰ）若数列
是等差数列，且对任意正整数
都有
成立，求数列
的通项公式；

（Ⅱ）对任意正整数
，从集合
中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与
一起恰好是1至
全体正整数组成的集合．

（ⅰ）求
的值； （ⅱ）求数列
的通项公式．

21．（本小题满分13分）已知双曲线
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，离心率
虚轴长为2.

（Ⅰ）求双曲线
的标准方程；

（Ⅱ）若直线
与双曲线
相交于
，
两点（
均异于左、右顶点），且以
为直径的圆过双曲线
的左顶点
，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．

22．（本小题满分13分）已知
为常数
，在
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若任意实数
，使得对任意的
上恒有
成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）求证：对任意正整数
，有
．

2015年长沙市高考模拟试卷

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】C

【解析】因为
，所以选C.

【思路点拨】可结合复数的运算法则先求出复数z，进而得其共轭复数，解答即可.

2.【答案】B

【知识点】向量的数量积；充分条件；必要条件.

【解析】因为
时，
夹角为钝角或平角，而
夹角为钝角时，
成立，所以“
”是“
夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.

【思路点拨】因为
时，
夹角为钝角或平角，而
夹角为钝角时，
成立，所以“
”是“
夹角为钝角”的必要不充分条件.

3.【答案】C

【知识点】用样本估计总体

【解析】由频率分布直方图得0.4÷0.1=4 ∴11时至12时的销售额为5×4=20

【思路点拨】由频率分布直方图得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍．

4.【答案】C

【知识点】程序框图的准确阅读与理解.

【解析】图中循环结构循环的结果依次是：（1）s=1+0=1,i=2; (2)s=1+1=2,i=3;

(3)s=2+2=4,i=4;(4)s=4+3=7,i=5;(5)s=7+4=11,i=6;(6)s=11+5=16,i=7.（7）s=16+6=22,i=8,所以若输出
的值为22，那么输入的
值等于8.故选C.

【思路点拨】根据程序框图描述的意义，依次写出循环结果，得输入的n值.

5.【答案】B

【知识点】定积分 几何概型

【解析】根据题意，可得曲线
与
围成的区域，其面积为

又矩形
的面积为
，由几何概型概率公式

得该点落在阴影区域内的概率是：
.所以选B.

【思路点拨】利用定积分计算公式，算出曲线

与
围成的区域包含在区域D内的图形面积

为
，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几

何概型公式加以计算即可得到所求概率．

6.【答案】C

【知识点】三角函数的图像与性质

【解析】由题意已知函数为
，因为其图象关于直线x=0对称，所以
，又因为
，所以
，即函数为

，所以
的最小正周期为
，且在
上为减函数，故选择C.

【思路点拨】根据其图象关于直线x=0对称以及
的范围，可得
，即可求得.

7.【答案】C

【解析】由椭圆的定义得：
，平方得：
①

又∵
，∴
，②

由余弦定理得：
，③

由①②③得：
，
，

，∴
，

则此椭圆离心率的取值范围是
，故选C．

考点：椭圆的标准方程，余弦定理的应用.

8.【答案】D

【知识点】函数与方程

【解析】不妨令b=0,函数f(x)图象与函数
的图象如图，则方程
的根即为两个函数图象交点的横坐标，由图象可知
，
可能大于2，所以A错误,又
，所以
，所以B错误；
，所以
，则C错误，综上可知选D.

【思路点拨】可先结合图象判断4个根的位置及由那段函数产生，再结合指数函数与对数函数的运算及性质进行判断即可.

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.

（一）选做题：在9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分.

9.【答案】4

【知识点】圆的切线的判定定理的证明

【解析】：由题意
∴
∴
∵

∴

∴
故答案为：4．

【思路点拨】由题意
可得
，从而

，代入数据可得结论．

10．【答案】

【解析】
圆心
,

设切点为
,要使
最大，则
取最大值，

而
,

所以当
取最小值
时，
取最大值

11．【答案】

【知识点】含绝对值不等式 基本不等式

【解析】：∵
，其最小值为2，又∵
的最大值为1，故不等式
| 恒成立，有
，解得
，故答案为

【思路点拨】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出
的最大值，若不等式
恒成立，则
，解这个绝对值不等式，即可得到答案．

（二）必做题（12~16题）

12．【答案】3

【知识点】三视图的应用.

【解析】由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长2，底边上的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于
.

【思路点拨】由三视图得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及高的值，从而求得此三棱柱的体积.

13．【答案】－10

【知识点】二项式定理

【解析】因为
，

由
，

得r=3,所以展开式中常数项为
.

【思路点拨】一般遇到二项展开式的某项或某项系数问题，通常利用展开式的通项公式解答.

14．【答案】D

【知识点】线性规划

【解析】：由题意作出其平面区域，将
化为
相当于直

线
的纵截距，由题意可得
与
或

与
平行，故
.所以选D.

【思路点拨】由题意作