2015年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

理科数学

命题学校：金川公司第一高级中学 命题教师：郭连鹏 金玉银 程媛媛

注意事项：

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。

回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合
，集合
，则
（ 　）

A．
B． （﹣∞，1] C．
D．

（2） 若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是（ ）

A．
B．
C．
D．

（3） 已知向量
是两个不共线的向量，若
与
共线，则λ的值（ ）

A.
B.
C. 1 D.

（4）二项式
的展开式中常数项为（ ）

A．160 B．
C．60 D．

（5）设
满足约束条件
，则目标函数
的取值范围为 （ ）

　 A．
B．
C．
D．

（6）已知
是公差不为0的等差数列
的前
项和，且
成等比数列，则
等于（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4

（7）定义：在数列
中，若满足
（
，d 为常数），称
为“等

差比数列”。已知在“等差比数列”
中，
则
（ ）

A．
B．
C．
D．

（8）设随机变量
服从正态分布N（0，1），若
（ ）

A．
B．
C．
D．

（9）在
中，
的对边分别为
，且
，
，则
的面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

（10）已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ） ( )

A．＋2 B．＋1 C．＋1 D．＋1

（11）若某几何体的三视图(单位：
)如图所示，

则该几何体的体积等于(　 　)

A．

B．

C．

D．

（12）已知函数
，若方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若复数
为纯虚数，则
的值为

（14）设
，
，则
．

（15）当输入的实数
时，执行如图所示的程序框图，则输出的

不小于103的概率是 。

（16）设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线

y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，若＝6，则k的值为_______

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

如图，以Ox为始边作角
与
(0<
<
<
)，它们的终边分别与单位圆相交于点P?Q，已知点P的坐标为(
，
).

（Ⅰ）求
的值;

（Ⅱ）若
，求sin(
+
)的值

（18）（本小题满分12分）

在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为
、
，设
为坐标原点，点
的坐标为
，记
．

（Ⅰ）求随机变量
的最大值，并求事件“
取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量
的分布列和数学期望．

（19）(本小题满分12分)如图，点C是以AB为直径的圆O上不与A、B重合的一个动点，

S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB = SC = 2．（Ⅰ）求证：OM⊥BC；（Ⅱ）当四面体S－ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为
，

二面角B－SA－C的大小为
，分别求
的值．

（20）（本小题满分12分）

已知
是抛物线
上的两个点，点
的坐标为
，直线
的斜率为
.设抛物线
的焦点在直线
的下方.

（Ⅰ）求
的取值范围；

（Ⅱ）设
为
上的一点，且
，过
两点分别作
的切线，记两切线的交点为
.判断四边形
是否为梯形，并说明理由.

（21）（本小题满分12分）

已知函数
在
处的切线
与直线
垂直，函数
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若函数
存在单调递减区间，求实数b的取值范围；

(3)设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值．

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多图均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=
AC，AE=
AB，BD，CE相交于点F.

（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；

（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
（
为参数），

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
=2.

（Ⅰ）分别写出
的普通方程，
的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知M，N分别为曲线
的上、下顶点，点P为曲线
上任意一点，求
的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.

（Ⅰ）设函数
.证明：
；

（Ⅱ）若实数
满足
,求证:
．

2015年甘肃省河西五市部分普通高中高三第二次联合考试

理科数学（答案）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，

（1）A （2）B （3）B 　 （4）C （5）D （6）B

（7）C （8）C （9）C （10）D （11）B （12）B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)
(14) -2 (15)
(16) k＝或k＝

三、解答题：

17解：(1)由三角函数的定义得
=－
，
=
，

则原式=

=2
2×(－
)
=

(2)∵

=0，∴OP⊥OQ ∴
∴
，

∴
，
.

∴

=
×
+(－
)×
=

18解

因此，随机变量
的最大值为
………………………3分

有放回摸两球的所有情况有
种
………6分

则随机变量
的分布列为：

























………………10分

因此，数学期望
…………………12分

19．解(Ⅰ)证：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC又SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC

∵
，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA 2分O、M分别为AB、SB的中点，故OM平行于SA∴OM⊥BC 4分

(Ⅱ)解：四面体S－ABC的体积
当且仅当
时取得最大值 6分方法一取BC的中点N，连接MN、AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC∴
，
9分作CH⊥SA垂足为H，连接BH，由(Ⅰ)知BC⊥SA，∴SA⊥平面BCH，BH⊥SA故
，在
中，
,
12分

方法二以
分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则C(0，0，0)，A(
，0，0)，B(0，
，0)，S(0，0，2)进而M(0，
，1)，

是平面ABC的一个法向量，故
，
9分设v = (x，y，z)是平面SAB的一个法向量，则
,即
故可取
，由（1）知，
是平面SAC的一个法向量故
12分

20.解：（1）抛物线
的焦点为
.由题意，得直线
的方程为
，

令
，得
，即直线
与y轴相交于点
.因为抛物线
的焦点在直线
的下方，所以
，解得
，因为
，所以
..。。。。。。。。。5分

（2）结论：四边形
不可能为梯形.理由如下：

假设四边形
为梯形.依题意，设
，
，
，

联立方程
消去y，得
，由韦达定理，得
，所以
.

同理，得
.对函数
求导，得
，所以抛物线
在点
处的切线
的斜率为
，抛物线
在点
处的切线
的斜率为
.

由四边形
为梯形，得
或
.

若
，则
，即
，因为方程
无解，所以
与
不平行.

若
，则
，即
，因为方程
无解，所以
与
不平行，所以四边形
不是梯形，这与假设矛盾.因此四边形
不可能为梯形.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

21题解

所以设


，所以
在
单调递减，


，

故所求的最小值是
…………12分

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

解：

（1）证明：

，

．

在正△
中，
，

，--------------1

又
，
，

△BAD≌△CBE，

，-------------------------3

即
，所以
，
，
，
四点共圆．…………………………（5分）

（2）解：如图，取
的中点
，连结
，则
．

，

，

，
，

△AGD为正三角形，

，即
，

所以点
是△AED外接圆的圆心，且圆
的半径为
．

由于
，
，
，
四点共圆，即
，
，
，
四点共圆
，其半径为
．（10分）

23.解：（1）曲线
的普通方程为
，……………………2分

曲线
的普通方程为
. ……………………4分

（2）

法一：由曲线
：
，可得其参数方程为
，所以
点坐标为
，由题意可知
.

因此

……………………6分

.

所以当
时，
有最大值28，……………………8分

因此
的最大值为
. ……………………10分

法二：设
点坐标为
，则
，由题意可知
.

因此

……………………6分