2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查

数学（理科）试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），第II卷第（21）题为选考题，其它题为必考题．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：



第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若向量

，

，
，则实数
的值为

A．
B．
C．2 D．6

2．若集合
，集合
，则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知等比数列
的第
项是二项式
展开式的常数项，则

A．
B．
C．
D．

4．若函数
是定义在
上的偶函数，

则该函数的最大值为

A．5 B．4 C．3 D．2

5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．

若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入

的整数
的最大值为

A．3 B．4 C．5 D．6

6．已知某市两次数学测试的成绩
和
分别服从

正态分布
和
，则以下

结论正确的是

A．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定

B．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定

C．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定

D．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定

7．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
作直线
轴交双曲线
的渐近线于点
．若以
为直径的圆恰过点
，则该双曲线的离心率为

A．
B．
C．2 D．

8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：我在1日和3日都有值班;

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是

A． 2日和5日 B． 5日和6日 C． 6日和11日 D． 2日和11日

9．若关于
的方程
有三个实根

，
，
，且满足
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．0

10．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是

A．
B．
C．
D．

第II卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．复数
（
为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________．

12．设
是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程
有两个不等实根的概率 为 ．

13．若关于x，y的不等式组
表示的平面区域是一个直角三角形，则k的值为 ．

14．若在圆
上有且仅有两个点到原点
的距离为1，则实数
的取值范围是 ．

15．已知面积为
的
中，
．若点
为
边上的一点，且满足
，则当
取最小时，
的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．(本小题满分13分)

将射线
绕着原点逆时针旋转
后所得的射线经过点
．

（Ⅰ）求点
的坐标；

（Ⅱ）若向量
，
，求函数
，
　的值域．

17．(本小题满分13分)

某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；

（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为
，乙队猜对前两条的概率均为
，猜对第3条的概率为
．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？

18． (本小题满分13分)

如图，在四棱柱
中，底面
是矩形，且
，
，
．若
为
的中点，且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）线段
上是否存在一点
，使得二面角
为
？

若存在，求出
的长；不存在，说明理由．

19． (本小题满分13分)

已知点
，直线
，直线
于
，连结
，作线段
的垂直平分线交直线
于点
．设点
的轨迹为曲线
．

（Ⅰ）求曲线
的方程;

（Ⅱ）过点
作曲线
的两条切线，切点分别为
，

（ⅰ）求证:直线
过定点;

（ⅱ）若
，过点
作动直线
交曲线
于点
，直线
交
于点
，试探究
是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．

20．(本小题满分14分)

已知函数
在点
处的切线斜率为
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）设
，若
对
恒成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）已知数列
满足
，
，

求证：当
时

（
为自然对数的底数，
)．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换

在平面直角坐标系中，矩阵
对应的变换将平面上任意一点
变换为点
．

（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵
；

（Ⅱ）求曲线
在矩阵
的变换作用后得到的曲线
的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与
轴的正半轴重合，直线
的参数方程为

(
为参数）, 圆
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求直线
的普通方程和圆
的直角坐标方程；

（Ⅱ）若圆
上的点到直线
的最大距离为
，求
的值．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小值
；

（Ⅱ）若正实数
满足
，求证：
.

2013年宁德市普通高中毕业班质量检查

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．

1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．Ｃ 7．D 8．C 9．B 10．D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．

11．
12．
13．
或
14．
15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想，满分13分．

解: （Ⅰ）设射线
的倾斜角为
，则
，
．……………1分

∴
，……………………………………………4分

∴由
解得
……………………………………………6分

∴点
的坐标为
．…………………………………………………………7分

（Ⅱ）
……………………………………8分

…………………………………………………10分

由
，可得
，

∴
，………………………………………………………12分

∴函数
的值域为
．……………………………………………13分

17．本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、

运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．

解法一：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为
，由频率分布直方图得，

，

解得：
．……………………………2分

∴测试成绩中位数为
．

进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分

（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为
、
，

则
，……………………………5分

∴
．……………………………6分

∴最后抢答阶段甲队得分的期望为
，………………………8分

∵
，
，

，
，

∴
， …………………………………………10分

∴最后抢答阶段乙队得分的期望为
．……………………12分

∴
，

∴支持票投给甲队．．……………………………13分

解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分

（Ⅱ）设最后抢答阶段甲队获得的分数为
，

则
所有可能的取值为
，
，
，
．

，
，

，
．

∴
．……………………………8分

设最后抢答阶段乙队获得的分数为
，则
所有可能的取值为
，
，
，
．

∵
，
，