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遵义市普通高中第四教育集团2015届5月联考

文 科 数 学

考试时间：120分钟；满分150分

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设
，“复数
为纯虚数”是“
”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（3）已知抛物线
的焦点坐标为（1,0），则
的值为（ ）

（A）8 （B）4 （C）
（D）1

（4）若
，
，
，则( )

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）如右图，网格纸上小正方形的边长为
，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）已知两个不同的平面
和两个不重合的直线
，有下列四个命题：

①若
； ②若
；

③若
； ④若
.

其中正确命题的个数是（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（7）在△
中，内角A，B，C的对边分别为
,已知
且
则
的值为（ ）

（A）5 （B）6 （C）-4 （D）-6

(8) 已知实数
满足
，如果目标函数
的最小值为-2，则实数
的值为( )

（A）8 （B） 4 （C）2 （D）0

(9) 设数列
是由正数组成的等比数列，
为其前
项和，已知
，则
( )

（A）
（B）
（C）
（D）

(10) 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入

某个正数
后，输出的
， 那么
的值为( )

（A）
（B）
（C）
（D）

(11)
为圆
上任意一点，
为圆

上任意一点，
中点组成的区域为
，

在
内部任取一点，则该点落在区域
上的概率为 ( )

（A）
（B）
（C）
（D）

(12) 定义在
上，并且同时满足以下两个条件的函数
称为
函数：

① 对任意的
，总有
；

② 当
时，总有
成立，

则下列函数不是
函数的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

（13）已知
，则
.

（14）如右图，半球内有一内接正四棱锥
，该四棱锥的体积为
，则该半球的体积为 .

（15）设向量
，如果向量
与
平行，那么
与
的数量积等于 .

（16）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为
，这两条曲线在第一象限的交点为
，
是以
为底边的等腰三角形。若
，椭圆与双曲线的离心率分别为
，则
的取值范围为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

（17）（本小题满分12分）

设
是公差大于零的等差数列，已知
，
.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
是以函数
的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列
的前
项和
.

（18）（本小题满分12分）

某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历） 的调查，其结果（人数分布）如下表：

学历

35岁以下

35～50岁

50岁以上



本科

80

30

20



研究生



20







（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率； （Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为
，求
的值．

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且
，点F为PD中点.

　 （Ⅰ）若
，求证：直线AF
平面PEC ；

　 （Ⅱ）是否存在一个常数
，使得平面PED⊥平面PAB. 若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系
中，已知点
,
，椭圆

的离心率为
，以坐标原点为圆心，椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
是椭圆
上关于
轴对称的不同两点，直线
与
相交于点
.求证：点
在椭圆
上.

（21）（本小题满分12分）

已知函数
，

.

（Ⅰ）当
时，求函数
在
处的切线方程；

（Ⅱ）求
在区间
(
)上的最小值；

（Ⅲ）若存在两个不等实根
，使方程
成立，求实数

的取值范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图在
中，
，
是
的平分线，
交
于点
，圆
是
外接圆.

（Ⅰ）求证：
是圆
的切线；

（Ⅱ）如果
,求
的长.

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
，
，且曲线
上的点
对应的参数
.以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线
与曲线
交于点
.

（Ⅰ）求曲线
的普通方程，
的极坐标方程；

（Ⅱ）若
,
是曲线
上的两点，求
的值.

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知
.

（Ⅰ）求
的解集；

（Ⅱ）若
，对
，
恒成立，求
的取

值范围.

遵义市普通高中第四教育集团2015届5月联考

数学（文科）参考答案与评分标准

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

C

C

D

D

B

A

B

C

A

D



二.填空题

（13）
； （14）
； (15)
； （16）
.

三.解答题

（17）解：(Ⅰ)设
的公差为
，则
，

解得
或
(舍)，

.

(Ⅱ)
,

其最小正周期为
=1，故首项为1，

又
公比为3，从而
，

，

故

.

(18)解：(Ⅰ)在35～50岁年龄段抽取的5人中，本科生有3人，设
研究生有2人，设为
.设事件
为从这5人中任取2人，至少有1人的学历研究生，则基本事件的全体
，