怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷

2015年高三第三次模考 文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1.设全集是实数集
,
与
都是
的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为

A．
B.

C.
D．

2.复平面内表示复数
的点位于

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.设平面
平面
，直线
. 命题
；命题
，则命题
成立是命题

成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.在△ABC中，
，若
，则
的值是

A.
B.
C.
D.

5.实数
满足
，则
的最小值为

A. 2 B.1 C.
D.

6.一算法的程序框图如右图，若输出的
，则输入

的
的值可能为

A．
　 B．
C．
　 D．

7.已知
，
，
，则
的最值是

A. 最大值为3，最小值为
B. 最大值为
，无最小值

C. 最大值为3，无最小值 D. 既无最大值，也无最小值

8.已知
是等差数列
的前
项和，且
，
,则
的值为

A.

B.

C.
D.

9.已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，过点
的直线与双曲线
的右支相交于
，
两点，且点
的横坐标为
，则△
的周长为

A．
　 B．
C．
　 D．

10.设G是
内一点，且
,
,定义
，其中
分别是
的面积，当

时，
的最小值是

A．8　 B．9 C．16　 D．18

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

11．直线
：
（
为参数）与曲线C：
（
为参数）公共点有 个.

12.把一颗骰子掷两次，观察出现的点数,记第一次出

现的点数为
,第二次出现的点数为
.则使直线

与
平行的概率为 .

13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的

体积为 .

14.给出以下命题： ①
的焦点坐标是（
，0）；

②命题“若
，则
”的否命题是假命题；

③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，若已知学号

为5,16,38,49的同学被选出，则被选出的另一个同学的学号为27；

④“
”是“
，不等式
恒成立”的充分条件.

上述命题正确的是 .

15.已知
，
，若函数
有三个零点，且这三个零点从小到大依次成等比数列，则
的值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分)

已知
的三个内角
、
、
所对的边分别为
，且
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值．

17．（本小题满分12分）

已知等差数列
的前n项和为
，且
，
；数列
的前n项和为
，且
，
．

（Ⅰ）求数列
,
的通项公式；

（Ⅱ）设
， 求数列
的前
项和
．

18．(本小题满分12分)

为了了解某年级1 000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，被抽取学生的成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组
；第二组
；… ；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为2∶8∶20，且第二组的频数为8．

（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年级学生中百米成绩在
内的人数；

（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩；

（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两名学生的成绩，求这两名学生的成绩的差的绝对值大于1的概率．

19. （本题满分13分）

如图，四边形
为菱形，
为

平行四边形，且面

面
，

，
，设
与
相

交于点
,
为
的中点.

（Ⅰ）证明:
面
；

（Ⅱ）若
,求
与面

所成角的大小.

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
过点
，离心率
，若点
在椭圆
上，则点
称为点
的一个“椭点”，直线
交椭圆
于
、
两点，若点
、
的“椭点”分别是
、
，且以
为直径的圆经过坐标原点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若椭圆
的右顶点为
，上顶点为
，试探究
的面积与
的面积的大小关系，并证明.

21. （本小题满分13分）

已知
是函数
的两个极值点．

（Ⅰ）若
，
，求函数
的解析式；

（Ⅱ）若
，求实数
的最大值.

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷

2015年高三三模 文科数学参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

B

C

D

C

B

D

A

D



二、填空题：

11、2； 12、
； 13、11； 14、③④； 15、
.

16解：（Ⅰ）在△ABC中，因为
，所以
．…………2分

又
，
解得
，

所以
或
（舍）…………4分

所以
．…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，…………7分

所以

，…………10分

又
，所以
．…………12分

17解：（Ⅰ）由题意
，解得
，
…………3分

因
，

当
时，
，得

时，数列
为等比数列，

检验知
时符合
， 所以
…………6分

（Ⅱ）

……………8分

……………10分

……………………………12分

18解： （Ⅰ）百米成绩在
内的频率为
，

所以估计该年级学生中百米成绩在
内的人数为320人……………4分

（Ⅱ）设图中从左到右的前3个组的频率分别为
．

依题意，得
，解得
．·················6分

设调查中随机抽取了
名学生的百米成绩，则
，解得
，

故调查中随机抽取了50名学生的百米成绩．·················8分

（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生人数为
，记他们的成绩为
，

百米成绩在第五组的学生人数为
，记他们的成绩为
，

则从第一、五组中随机取出两名学生的成绩包含的基本事件有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15个 ·······················10分

其中满足成绩的差的绝对值大于1的基本事件有：
，

，
，
，
，
，
，
，共8个，

所以所求概率
．···········12分

19证明：（Ⅰ）
四边形
为菱形
………2分

又
面

面

即

又

为
的中点,

又



面
…………·6分

（Ⅱ）连接
由（Ⅰ）知


………7分

在
中，

又

………………9分

又

是
在面EDB上的投影

与面
所成角即为
. ····················11分

易知
，又因为

所以
. ····················13分

20解：（Ⅰ）由已知
解得
，
，方程为
………4分

（Ⅱ） 设
，则

（1）当直线
的斜率不存在时，设方程为
（
）

联立椭圆方程得：

代入
得到
即
，

…………………7分

(2)当直线
的斜率存在时，设方程为

联立得：

有
①

由以
为直径的圆经过坐标原点O可得：
·

整理得：
②

将①式代入②式得：
…………………9分

又点
到直线
的距离

所以
…………………12分

综上：
的面积是定值

又
的面积
，所以二者相等…………………13分

21解：
．

（Ⅰ）因为
，
是函数
的两个极值点，

所以
，
．··············2分

所以
，
，解得
，
．

所以
．…………4分

（Ⅱ）因为
是函数
的两个极值点，

所以
，

所以
是方程
的两根，………6分

因为
，所以
对一切
，
恒成立，

而
，
，又
，所以
，

所以


，

由
，得
，所以

．

因为
，所以
，即
．…………9分

令
，则
．

当
时，
，所以
在(0，4)上是增函数；

当
时，
，所以
在(4，6)上是减函数．

所以当
时，
有极大值为96，所以
在
上的最大值是96，

所以
的最大值是
． …………13分

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