2014学年杭州地区七校高三第三次质量检测

数学（理） 试题

命题审校人：萧山九中 谢青青 寿昌中学 杨德义

考试时间 2015年5月13日 15:00-17:00

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：

球的表面积公式
棱柱的体积公式

球的体积公式
其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高

其中
表示球的半径 棱台的体积公式

棱锥的体积公式
其中
分别表示棱台的上底、下底面积，

其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高
表示棱台的高

选择题部分 (共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知函数
是偶函数，且
（ ）

A.-1 B.1 C.-5 D.5

3.在等腰
中
，
，则
的值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知实数x、y满足约束条件
，则
的取值范围是（ ）A．
B．[0，2] C．
D．

5.已知抛物线
：
的焦点为
，准线为
，
是
上一点，
是直线
与
的一个交点，若
，则
=（ ）

A.
B.
C. 3 D. 2

6.若正数
满足
，则
的最小值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．已知函数
，若方程
有且仅有两个不等的实根，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

8.如图，正方体
中，
为
边的中点，点
在底面
上运动并且使
，那么点
的轨迹是（ ）

A．一段圆弧 B．一段椭圆弧

C．一段双曲线弧 D．一段抛物线弧

非选择题部分 (共110分)

二、填空题.（本题共有7小题，其中第9题每空2分,第10、11、12题每空3分，第13、14、15题每空4分，共36分）

9. 在数列
中，
为它的前
项和，已知
，
，且数列
是等比数列，则
▲ ，
▲ ，
▲

10.在
中，
则
面积

为 ▲ ,
▲

11．正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为 ▲ ．该正四面体的体积为 ▲

12.设函数
则
▲ ,
▲

13．设
是双曲线
的右焦点，
为坐标原点，点
分别在双曲线的两条渐近线上，
轴，
∥
，
，则该双曲线的离心率为 ▲

14.已知函数
是
上的减函数，且
的图象关于点
成中心对称．若不等式
对任意
恒成立，则
的取值范围是 ▲

15．设
为实数，若
，则
的最大值是 ▲

三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知向量
，函数
的图象的对称中心与对称轴之间的最小距离为
．(Ⅰ)求
的值，并求函数
在区间
上的单调增区间；(Ⅱ)△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
，
，求b的值．

17．（本题满分15分）如图，四边形
与
均为菱形，
，且
．

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
∥平面
；

（3）求二面角
的余弦值．

18.已知函数
，其中
，且
．

（1）若
在[-1,1]上不是单调函数，求
的取值范围；

（2）求
在区间
上的最大值；

19. （本小题满分15分）已知椭圆
（
）的右焦点为
，离心率为
.

（1）若
，求椭圆的方程；

（2）设直线
与椭圆相交于
，
两点，
分别为线段
的中点. 若坐标原点
在以
为直径的圆上，且
，求
的取值范围.

20.已知数列
、
中,对任何正整数
都有：

．

(1)若数列
是首项和公差都是1的等差数列, 求
, 并证明数列
是等比数列；

(2)若数列
是等比数列,数列
是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由；

(3)若数列
是等差数列,数列
是等比数列,求证：

2014学年杭州地区七校高三第三次质量检测

数学（理） 参考答案

最终定稿人：萧山九中 谢青青 联系电话：13675842362

一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）

题号

1

2

3gkstkCom

4

5

6

7

8



答案

A

D

A

C

A

B

C

D



二、填空题（本题共有7小题，其中第9题每空2分,第10、11、12题每空3分，第13、14、15题每空4分，共36分）

9．__1__ ，
，
10．
，
:.]

11．
，
12． 4 ，

13．
14．
15．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.(Ⅰ)解：
…4分

由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为
，

所以
…………………………………………………5分

令
，解得
(k∈Z)

又
，所以所求单调增区间为
………………………8分

(Ⅱ)解：


或
(k∈Z)，又
，故
……………………10分∵
，

∴
由正弦定理得
，∴
………………15分

17． （Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．

因为 四边形ABCD为菱形，所以
，

且O为AC中点． ……………………………1分

又FA=FC，所以
． ………………………………3分

因为
，

所以
平面BDEF． ……………………………… 4分

（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，

所以AD//BC，DE//BF，

所以 平面FBC//平面EAD． ……………………7分

又
平面FBC，

所以FC// 平面EAD． ………………8分

（Ⅲ）解:因为四边形BDEF为菱形，且
，所以△DBF为等边三角形．

因为O为BD中点，所以
，故
平面ABCD．

由OA,OB,OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． ………9分

设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，
，则BD=2，所以OB=1，

．

所以
．

所以
，
．

设平面BFC的法向量为
，则有

所以
取x=1，得
． ………………12分

易知平面AFC的法向量为
． ………………14分

由二面角A-FC-B是锐角，得
．

所以二面角A-FC-B的余弦值为
． ………………15分

18.解：（1）∵
在[-1,1]上不是单调函数，

∴
， ∴
……………5分

（2）①当
时，
在
上递增，

∴
=
………………7分

②当
时，
………………9分

当
时，
=1 ………………11分

当
时，
=
………………13分

∴综上
………………15分

19．解：（Ⅰ）由题意得
，

结合
，所以，椭圆的方程为
； ……………………5分

（Ⅱ）由
，设
，

……………7分所以
， ……………8分依题意，OM⊥ON，所以

∴
………10分

即
，将其整理为
， ……………………13分因为
，所以
， 即