2015届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是

A．
B．
C．
D．

3、已知复数
满足
(其中i为虚数单位)，则
的虚部为

A．
B．
C．
D．

4、等比数列
的前n项和为
，已知
，则

A．
B．
C．
D．

5、设变量
满足约束条件
，则目标

函数
的最小值为

A．6 B．7 C．8 D．23

6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为

A．
B．
C．
D．

7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
B．
C．
D．4

8、执行右下方的程序框图，如果输入的
，那么输出的
的值为

A．
B．

C．
D．

9、在平面直角坐标系中，角
的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半

轴重合，终边过点
，则

A．
B．
C．
D．

10、在四面体S-ABC中，
平面
，

则该四面体的外接球的表面积为

A．
B．
C．
D．

11、已知F是抛物线
的焦点，直线
与该抛物线交于第一象限

内的零点
，若
，则
的值是

A．
B．
C．
D．

12、设函数
，记

，则下列结论正确的是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.

13、已知向量
，且
与
共线，则x的值为

14、已知
，则

15、设点P、Q分别是曲线
是自然对数的底数）和直线
上的动点，则P、Q 两点间距离的最小值为

16、在平面直角坐标系中有一点列
对
，点
在函数
的图象上，又点
构成等腰三角形，且

若对
，以
为边长能构成一个三角形，则
的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，且满足

（1）求角B的大小；

（2）若
的面积为
，求
的值。

18、（本小题满分12分）

4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”

（1）根据已知条件完成下面
的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？

（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）

19、（本小题满分12分）

已知
平面
。

（1）求证：
平面
；

（2）M为线段CP上的点，当
时，求二面角
的余弦值。

20、（本小题满分12分）

已知椭圆
经过点
，离心率为
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）不垂直与坐标轴的直线
与椭圆
交于
两点，线段
的垂直平分线交y轴于点
，若
，求直线
的方程。

21、（本小题满分12分）

已知函数
是自然对数的底数，
。

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）若
为整数，
，且当
时，
恒成立，其中
为
的导函数，求
的最大值。

请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图：
的直径
的延长线于弦CD的延长线相交于

点P，E为
上一点，
交
于点F。

（1）求证：
四点共圆；

（2）求证：
.

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程
为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：
。

（1）直线
的参数方程化为极坐标方程；

（2）求直线
的曲线
交点的极坐标（
）

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
。

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若
恒成立，求实数
的取值范围。

2015年石家庄市高三数学第二次模拟考试

（理科答案）

选择题：

1-5 CCAAB 6-10 AABAD 11-12 DB

填空题：

13.
14.

15
16.

三、解答题：

17.解: （Ⅰ）

…………………………1分

…………………………3分

∴
…………………………5分

∴
…………………………6分

(Ⅱ) 由
得a c＝4…………………………8分.

由余弦定理得b2＝a2＋c2+ac
…………………10分

∴ a＋c
…………………………12分

18．解（1）完成下面的
列联表如下

非读书迷

读书迷

合计



男

40

15

55



女

20

25

45



合计

60

40

100



 ……………… 3分

≈8.249

8.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关。...……………..6分

（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为
. 由题意可知X～B（3，
），P(x=i)=
（i=0，1，2，3）………………8分

从而分布列为

X

0

1

2

3



P











.……………… 10分

E(x)=np=
(或0.6)，D(x)=np(1-p）=
(或0.72) ……………… 12分

19.（1）证明：

因为PA⊥平面ABCD，PA
平面ADP，

所以平面ADP⊥平面ABCD. …………………………………………2分

又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，

所以CD⊥平面ADP. ……………………………………………………4分

（2）AD，AP，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系，

则A（0，0，0），B（0，0，1），

C（4，0，4），P（0，4，0），则
，
，
，
.………………………………6分

设M（x, y , z),

，则
.

所以


，
，

，
.

因为BM⊥AC，所以
，

，解得
，

所以M
，. …………………………………………8分

设
为平面ABM的法向量，

则
，又因为
，

所以
.

令
得
为平面ABM的一个法向量.

又因为AP⊥平面ABC，所以
为平面ABC的一个法向量.…………………10分

，

所以二面角C—AB—M的余弦值为
.…………………………12分

法2：

在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，

在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分，

因为AP⊥平面ABCD，

所以HM⊥平面ABCD.

又因为AC
平面ABCD，

所以HM⊥AC.

又BH∩HM=H, BH
平面BHM，HM
平面BHM，

所以AC⊥平面BHM.

所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分

在直角
中，AH=
，

又AC=
，所以
.

又HM∥AP，所以在
中，
.

在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在
中，
.

因为AB∥CD，所以MN∥BA.

连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP.

所以AB⊥AD，AB⊥AN.

所以∠DAN为二面