2015届广州市高三数学差缺补漏题（文科）

1．已知向量
，
，函数
．

（1）求函数
的最大值，并写出相应
的取值集合；

（2）若
，且
，求
的值．

解析： ：（1）
，

∴当
，即当
时，
；

（2）由（1）得：
，∴
，
。

∵
，∴
，∴
．

2. 已知函数
．

（1）讨论函数
在
上的单调性；

（2）设
，且
，求
的值．

解析：（1）


，

由
得
，

当
即
时，
递增；

当
即
时，
递减；

当
即
时，
递增．

综上，函数
在区间
、
上递增，在区间
上递减．

（2）由
，即
，得
，

因为
，所以
，可得
，

则

．

3. 在△ABC中，内角
所对的边分别是
，且满足：

又
.

（1）求角A的大小；

（2）若
，求
的面积
．

解：（1）∵

∴
, 又∵

∴

（2）∵

∴
，

∴
即

∴
,

又∵

∴

4. 设
的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3
+3
-3
=4
bc ．

（1） 求sinA的值；

（2）求
的值．

解：（1）由余弦定理得

又

（2）原式

5．某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示．

性别

科目

男

女



文科

2

5



理科

10

3



（1）若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；

（2）用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？ （参考公式和数据：χ2
（其中
））

解：（1）设报考文科的2名男生为

（2）χ2
=
4.43>3.841，??????????????????

可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关. ?

6．某班同学利用寒假进行社会实践，对年龄在
的人群随机抽取
人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（1）补全频率分布直方图，并求
的值；

（2）从年龄在
的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在
的概率.

解析：（1）第二组的频率为
，∴高为
，补全频率分布直方图如下

第一组的人数为
，频率为
，∴

由题可知，第二组的频率为

∴第二组的人数为
，∴

第四组的频率为
，∴第四组的人数为

∴

综上所述：

（2）∵年龄在
的“低碳族”与年龄在
的“低碳族”的比值为

∴采用分层抽样法抽取6人，
岁的有４人，
岁的有2人

设
岁中的4人为
，
岁中的2人为
，则选取2人作为领队的方法有

，
共15种

其中恰有1人年龄在
岁的有

共8种

∴选取的2名领队中恰有1人年龄在
岁的概率为

7．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录了6个抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4.

（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；

（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率.

解析：(1)
，
， 2

，

，

∵

，
， ∴甲车间的产品的重量相对较稳定

(2)从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法:

，

设
表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则
的基本事件有4种:

，

故所求概率为

8. 已知集合
，设M={
|

,


}，在集合M内随机取出一个元素
.

（1）求以
为坐标的点落在圆
上的概率；

（2）求以
为坐标的点位于区域D：
内（含边界）的概率.

解：（1）集合M 的所有元素有(-2, -1)，(-2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 1)共6个

记“以
为坐标的点落在圆
上”为事件A，则基本事件总数为6.

因落在圆
上的点有(0, -1)，(0, 1)2个，即A包含的基本事件数为２，

所以

（2）记“以(x，y)为坐标的点位于区域D内”为事件B. 则基本事件总数为6.

由右图知位于区域D内（含边界）的点有：(-2, -1)，(2, -1)，

(0, -1)，(0, 1)共４个，即B包含的基本事件数为4，

故
.

9. 如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，
平面ABCD，
，
，E为BC中点.

（1）求证：平面
平面PDE；

（2）线段PC上是否存在一点F，使PA//平面BDF？ 若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.

解析：（1）连结
，
，

所以
，
为
中点，所以
，又因为
平面
,

所以
，因为

所以
平面

因为
平面
,所以平面
平面

（2）当点
位于
三分之一分点（靠近
点）时,
平面

连结
交于
点，
,所以
相似于

又因为
，所以
，从而在
中,
……10分

而
，所以
，而
平面
，
平面

所以
平面

10．如图，在矩形
中，点
为边
上的点，点
为边
的中点，
,现将
沿
边折至
位置，且平面
平面
.

（1）求证：平面
平面
；

（2）求四棱锥
的体积．

解析：（1）证明：在
中
,

在
中，
,
,
.
平面
平面
，且平面
平面

平面
,

平面
，
平面
平面
.

（2）解：过
做
,

平面
平面
平面
且平面
平面
，

平面
,

四棱锥
的高
.

则
.

11．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）证明：BN⊥平面C1B1N；

（2）求点

解析：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

则

,

,

（2）由等体积法
,

则

12. 如图，正方形
所在平面与三角形
所在平面相交于
，
平面
，且
，
．

（1）求证：
平面
；

（2）求凸多面体
的体积．

证明：（1）∵
平面
，
平面
，∴

．

在正方形
中，
，∵
，∴
平面
．∵
，∴
平面
．

（2）解法1：在
△
中，
，
，

∴
．

过点
作
于点
，∵
平面
，
平面
，

∴
． ∵
，∴
平面
．

∵
，

∴
．

又正方形
的面积
，

∴

．

故所求凸多面体
的体积为
．

解法2：在
△
中，
，
，∴
．

连接
，则凸多面体
分割为三棱锥
和三棱锥
．

由（1）知，

．∴
．

又
，
平面
，
平面
，

∴
平面
．

∴点
到平面
的距离为