高三数学（理科）测试题

注意事项：

1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间为120分钟，满分150分．

2.把选择题选出的答案标号涂在答题卡上．

3.第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答，否则不予评分．

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案填写在答题卷相应位置．

1.已知
是虚数单位，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.

2.若集合
,
,则
（ ）

A.
B.

C.
D.

3．若α，β是第一象限的角，“α>β”是“sinα>sinβ”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知函数
是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数
，

设
＝
，
，
，则
、
、
的大小关系为(　　)

A．
<
<
B．
<
<

C．
<
<
D．
<
<

5．一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 已知
是首项为1的等比数列，
是
的前n项和，且
，则数列
的前5项和为（ ）

A.
或5 B.
或5 C.
D.

7. 执行右面的程序框图,如果输入的
均为2,则输出的
=(　 　)

A.4 B.5 C.6 D.7

8．从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是( )

A.
B.
C.
D.

9．已知焦点在
轴上的椭圆方程为
，随着
的增大该椭圆的形状（ ）

A. 越扁 B.越接近于圆

C.先接近于圆后越扁 D.先越扁后接近于圆

10．右图是某果园的平面图，实线部分
游客观赏道路，其中曲线部分
是以
为直径的半圆上的一段弧，点
为圆心，
是以
为斜边的等腰直角三角形，其中
千米，
(
),若游客在路线
上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”
是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映
与
的函数关系的是（ ）

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知
则
_________.

12．（
）3的展开式中的常数项为
，则直线
与曲线
围成图形的面积为_________.

13．已知
，若
，则
________.

14．设
满足约束条件
若目标函数
的最大值为8，则

=_________时，
取得最小值.

15．在平面直角坐标系中，O为原点，
，动点D满足
，则
的最大值是__________.

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）在
中，三个内角
，
，
的对边分别为
，
，
，其中
， 且
.

(Ⅰ)求
，
，C.

(Ⅱ)如图，设圆
过
三点，点
位于劣弧上，记
，求
面积最大值.

17．（本小题满分12分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：

（1）投资股市：

投资结果

获利40%

不赔不赚

亏损20%



概 率









 （2）购买基金：

投资结果

获利20%

不赔不赚

亏损10%



概 率









 （Ⅰ）当
时，求q的值；

（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于
，求
的取值范围；

（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知
，
，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．

18．(本小题满分12分) 已知正项数列
，其前
项和
满足
且
是
和
的等比中项.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ) 符号
表示不超过实数
的最大整数，记
，求
.

19．(本小题满分12分)在三棱柱
中，侧面
为矩形，
，
，
是
的中点，
与
交于点
，且
平面
.

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.

20．(本小题满分13分) 设
是椭圆
上不关于坐标轴对称的两个点，直线
交
轴于点
（与点
不重合），O为坐标原点.

（Ⅰ）如果点
是椭圆W的右焦点，线段
的中点在y轴上，求直线AB的方程；

（Ⅱ）设
为
轴上一点，且
，直线
与椭圆W的另外一个交点为C，证明：点
与点
关于
轴对称.

21．(本小题满分14分) 已知函数
．

（1）函数
在区间
上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（2）当
时，
恒成立，求整数
的最大值；

（3）试证明：
（
）

高三数学（理科）测试题参考答案

一、选择：1-10：DADAB CDCBA

二、填空：11、
； 12、
； 13、
或
； 14、
15、4

三、解答：

16、（1)由正弦定理得
，

整理为
，即

又因为
∴
或
，即
或

∵
， ∴
舍去，故

由
可知
，∴
是直角三角形

(2)由(1)及
，得
，
， …7分

设
，则
，

在
中，
　所以

因为
所以
，

当
，即
时，
最大值等于
.

17．（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，

所以
+
+
=1. 又因为
， 所以
=
．

（Ⅱ）解：记事件A为 “甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事

件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，

则
，且A，B独立.

由上表可知，
，
.

所以

.

因为
， 所以
.

又因为
，
， 所以
.

所以
.

（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），

所以随机变量
的分布列为：

4

0

















则
.

假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），

所以随机变量
的分布列为：

Y

2

0

















则
.

因为
，

所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．

18、解：(Ⅰ) 由
①

知
②

由①-②得

整理得

∵
为正项数列∴
，∴

所以
为公差为
的等差数列，由
得