铁人中学数学模拟训练（六）

出题人：马国莹

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.设集合
，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

2.下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1，其中的真命题为（ ）

A.p2，p3 B.p1，p2 C.p2，p4 D.p3，p4

3. 为了得到函数
的图象,可以将函数
的图象（ ）

A.向右平移
个单位 B.向左平移
个单位

C.向左平移
个单位 D.向右平移
个单位

4.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）

5.执行如图3所示的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

图3

6.直线
：
与圆M：
相切，则
的值为(　　)

A.1或-6 B.1或-7 C.-1或7 D.1或

7. 在
中，内角
的对边分别为
，若
，则角
（ ）

A
B
C
D

8. 已知
则
的最小值为（ ）

A
B
C
D

9.如果不共线向量a，b满足2 |a| = | b |，那么向量2 a+ b 与2 a - b的夹角为( )

A．
B．
C．
D．

10.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)

A.x2＝y B.x2＝y C.x2＝8y D.x2＝16y

11.已知定义在
上的奇函数
满足
，且
时，
，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：
；乙：函数
在
上是增函数；丙：函数
关于直线
对称；丁：若
，则关于
的方程
在
上所有根之和为-8，其中正确的是（ ）

A.甲，乙,丁 B.乙,丙 C.甲,乙,丙 D.甲,丁

12. 16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3 张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为(　　)

A.232 B.252 C.472 D.484

第II卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）

13.
若
，则
的取值范围是 .

14.已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
.

15、求函数
在
上的值域是___
______

16.（2012·潍坊二模）下列命题：

①函数
在
上是减函数；

②点A（1，1）、B（2，7）在直线
两侧；

③数列
为递减的等差数列，
，设数列
的前n项和为
，则当
时，
取得最大值；

④定义运算

则函数

的图象在点
处的切线方程是

其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）.

三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别是
，点
在直线
上，

（1）求角
的值；

（2）若
，求
的面积.

17.（本小题满分12分）

各项均为正数的数列
，满足
，
（
）.

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和
.

18.（本小题满分12分）

现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击.

（1）求该射手恰好命中一次的概率；

（2）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.

19.（本小题满分12分）

如图6，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点.

（1）求证：B1E⊥AD1；

（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；

（3）若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长.

图6

20.（本小题满分12分）

[2012·山东卷]如图7所示，椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形ABCD的面积为8.

图7

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）设直线l：y＝x＋m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求的最大值及取得最大值时m的值.

21.（本小题满分12分）

（理）（2012·汕头二模）已知函数
其中常数
.

（1）当
时，求函数
的单调递增区间；

（2）当
时，若函数
有三个不同的零点，求m的取值范围；

（3）设定义在D上的函数
在点
处的切线方程为
当
时，若
在D内恒成立，则称P为函数
的“类对称点”，请你探究当
时，函数
是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.

22. 如图所示，已知
为
的
边上一点，⊙
经过点
，
交
于另一点
，⊙

经过点
，
交
于另一点
，⊙
与⊙
交于点
.

（1）求证：
；

（2）若⊙
的半径为5，圆心
到直线
的距

离为3，
10，
切⊙
于
， 求线

段
的长.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C
：
（
为参数）， C
：
（
为参数）。

（1）化C
，C
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C
上的点P对应的参数为
，Q为C
上的动点，求
中点
到直线

（t为参数）距离的最小值。

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

（1）求不等式
的解集；

（2）若关于
的方程
有解，求实数
的取值范围.

铁人中学数学模拟训练（六）答案

1. A 2. C 3. D 4. C 5.B 6. B 7. B 8. C 9. C 10. D 11. D 12. C

13.
14. 9 15.
16.②④

17.解：（1）由题得
，

由正弦定理
，得
，即
.…………3分

由余弦定理得
，

结合
,得
.………………6分

（2）由
，得
，

从而
.………………9分

所以
的面积
. ………………12分

解：（1）因为
，

所以数列
是首项为1，公差为2的等差数列.

所以
.

因为
，所以

.

（2）由（1）知，
，所以
.

所以
， ①

则
， ②

①－②得，

.

所以
.

18. 解：（1）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知

P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，

由于A＝B＋C＋D，

根据事件的独立性和互斥性得

P(A)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)

＝××＋××＋××＝.

（2）根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.

根据事件的独立性和互斥性得

P(X＝0)＝P()＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝××＝，

P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P()＝××＝，

P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝××＋××＝，

P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)＝××＋××＝，

P(X＝4)＝P(CD)＝××＝，

P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.

故X的分布列为

X

0

1

2

3

4

5



P















所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.

19. 解:（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.

因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，

所以B1E⊥AD1.

（2）假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，

使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0).

又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z).

因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，得

取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.

又DP?平面B1AE，所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.

（3）连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.

因为B1C∥A1D，所以AD1⊥B1C.

又由（1）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，

所以AD1⊥平面DCB1A1.所以是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1).

设与n所成的角为θ，

则cosθ＝＝.

因为二面角A－B1E－A1的大小为30°，

所以|cosθ|＝cos30°，即＝，

解得a＝2，即AB的长为2.

20.

解：（1）设椭圆M的半焦距为c，由题意知

所以a＝2，b＝1，

因此椭圆M的标准方程为＋y2＝1.

（2）由整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，

由Δ＝64m2－80(m2－1)＝80－16m2>0，得－

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝