铁人中学模拟训练(七)

数学（理） 出题人：夏莉

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1. 1. 已知集合
，
则
=( )

A.
B.
C.
D.

2. 已知复数
，则( )

A.
的实部为1 B.
的虚部为
C.
的虚部为
D.
的共轭复数为

3.下面四个命题中的真命题是( )

A.命题“
，均有
”的否定是：“
，使得
”

B.命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

C.采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5、16、27、38、49的同学均被选出，则该班人数可能为60

D. 在某项测量中，测量结果
服从正态分布
,若
在
内取值的概率为
，则
在
内取值的概率为

4．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

5.已知
是不相等的正数，且
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

6. 棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图

所示，那么被截去的几何体的体积是

A．
B．
C． 4 D． 3

7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是

A.
B.
C.
D.

8. 已知
, 若
,则
与
大小关系为　

A．


B．
=
C．


D．不能确定

9. 在
中,角
所对的边分别是
,若
,则
的最小角的正弦值等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

10.平面直角坐标系中，
为坐标原点，动点
，
分别在
轴和
轴上，且
，设过
三点的动圆扫过的区域边界所代表的曲线为
.已知
是直线
上的动点，
是曲线
的两条切线，
为切点，那么四边形
面积的最小值是( )

A.
B.
C.
D.

11. 若函数
，（
且
）有两个零点，则
的取值范围是

.

.

.

.

12．如图，已知双曲线
的左右焦点分别为

F1F2，|F1F2|=2，P是双曲线右支上的一点，PF1⊥PF2，F2P

与y轴交于点A，△APF1的内切圆半径为
，则双曲线

的离心率是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若函数
，则
____________.

14. 在
的展开式中，
项的系数是____________.

15. 若函数
的值域为
,则实数
的取值范围是 .

16. 定义：
，已知数列{an}满足：
，若对任意正整数n，都有
成立，
的值为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17(1)在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为
且

（1）求∠A；

（2）若
，求
的取值范围

17（2）等差数列
的各项均为正数，
，前
项和为
，
为等比数列,
，且

．

（1）求
与
；

（2）求数列
的前
项和
。

（3）若
对任意正整数
和任意
恒成立，求实数
的取值范围．

18. 某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。

两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）

（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；

（2）从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；

（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。

19.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，
于
，延长AE交BC于F，将
ABD沿BD折起，

使平面ABD
平面BCD，如图2所示.

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；

（Ⅱ）求二面角A–DC –B的余弦值．

（Ⅲ）在线段
上是否存在点
使得
平面
？

若存在,请指明点
的位置；若不存在，请说明理由.

20. 已知点A（ -4, 4） 、 B（ 4, 4） , 直线AM 与BM 相交于点M, 且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为-2, 点 M 的轨迹为曲线C。

（ Ⅰ） 求曲线C 的轨迹方程;

（ Ⅱ） Q 为直线y=-1上的动点, 过 Q 做曲线C 的切线, 切点分别为 D、 E, 求△Q D E 的面积S的最小值。

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）若函数
有极值1，求实数
的值；

（II）若函数
在区间
上是增函数，求实数
的取值范围；

（III）证明：
.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
、
是圆的两条平行炫，
,
交
于
、交圆于
，过点
的切线交
的延长线于
，
,
.

（1）求
的长；

（2）试比较
与
的长度关系.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线经过点
，其倾斜角为
，以原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线
的极坐标方程为

（1）若直线
与曲线
有公共点，求
的取值范围；

（2）设
为曲线
上任意一点求
的取值范围.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）当
时，解不等式
；

（2）若
的解集为
，
，，求证：

铁人中学模拟训练(七)

一、选择题：

1. A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.C 9.C 10.D 11.A 12.B

二、填空题：

13.
14.
15.
16. 

三、解答题：17（1）.解：（1）由余弦定理有

，

（2）
且
，

，
，（当且仅当
时取等号）

方法二、由正弦定理

=

因为
，所以

所以
即

17（2）. 解：（1）设
的公差为
，
的公比为
，则
为正整数，

，
??????

依题意有
，即
，

解得
或者
（舍去），

故
。

（2）
。

，

，

两式相减得