绝密★启用前遵义市普通高中第四教育集团2015届5月联考文 科 数 学考试时间：120分钟；满分150分 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合 ，则 （ ）（A） （B） （C） （D） （2）设 ，“复数 为纯虚数”是“ ”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（3）已知抛物线 的焦点坐标为（1,0），则 的值为（ ） （A）8 （B）4 （C） （D）1 （4）若 ， ， ，则( ) （A） （B） （C） （D） （5）如右图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D） （6）已知两个不同的平面 和两个不重合的直线 ，有下列四个命题： ①若 ； ②若 ； ③若 ； ④若 . 其中正确命题的个数是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （7）在△ 中，内角A，B，C的对边分别为 ,已知 且 则 的值为（ ） （A）5 （B）6 （C）-4 （D）-6 (8) 已知实数 满足 ，如果目标函数 的最小值为-2，则实数 的值为( ) （A）8 （B） 4 （C）2 （D）0 (9) 设数列 是由正数组成的等比数列， 为其前 项和，已知 ，则 ( ) （A） （B） （C） （D） (10) 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正数 后，输出的 ， 那么 的值为( ) （A） （B） （C） （D） (11) 为圆 上任意一点， 为圆 上任意一点， 中点组成的区域为 ，在 内部任取一点，则该点落在区域 上的概率为 ( ) （A） （B） （C） （D） (12) 定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为 函数： ① 对任意的 ，总有 ； ② 当 时，总有 成立，则下列函数不是 函数的是（ ） （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（共90分）[来源:Z，xx，k．Co m] 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸 上）（13）已知 ，则 . （14）如右图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的体积为 . （15）设向量 ，如果向量 与 平行，那么 与 的数量积等于 . （16）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 ，这两条曲线在第一象限的交点为 ， 是以 为底边的等腰三角形。若 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（17）（本小题满分12分）设 是公差大于零的等差数列，已知 ， . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设 是以函数 的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列 的前 项和 . （18）（本小题满分12分）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历） 的调查，其结果（人数分布）如下表：学历 35岁以下 35～50岁 50岁以上本科 80 30 20 研究生 20 （Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率； （Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为 ，求 的值．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且 ，点F为PD中点. 　 （Ⅰ）若 ，求证：直线AF 平面PEC ；　 （Ⅱ）是否存在一个常数 ，使得平面PED⊥平面PAB. 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. （20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系 中，已知点 , ，椭圆 的离心率为 ，以坐标原点为圆心，椭圆 的短半轴长为半径的圆与直线 相切. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设 是椭圆 上关于 轴对称的不同两点，直线 与 相交于点 .求证：点 在椭圆 上. （21）（本小题满分12分）已知函数 ， . （Ⅰ）当 时，求函数 在 处的切线方程； （Ⅱ）求 在区间 ( )上的最小值； （Ⅲ）若存在两个不等实根 ，使方程 成立，求实数 的取值范围. 请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图在 中， ， 是 的平分线， 交 于点 ，圆 是 外接圆. （Ⅰ）求证： 是圆 的切线； （Ⅱ）如果 ,求 的长. （23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ， ，且曲线 上的点 对应的参数 .以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 与曲线 交于点 . （Ⅰ）求曲线 的普通方程， 的极坐标方程； （Ⅱ）若 , 是曲线 上的两点，求 的值. （24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知 . （Ⅰ）求 的解集； （Ⅱ）若 ，对 ， 恒成立，求 的取 值范围. 遵义市普通高中第四教育集团2015届5月联考数学（文科）参考答案与评分标准一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C C D D B A B C A D 二.填空题（13） ； （14） ； (15) ； （16） . 三. 解答题（17）解：(Ⅰ)设 的公差为 ，则 ， 解得 或 (舍)， . (Ⅱ) , 其最小正周期为 =1，故首项为1， 又 公比为3，从而 ， ， 故 . 17.(18)解：(Ⅰ)在35～50岁年龄段抽取的5人中，本科生有3人，设 研究生有2人，设为 .设事件 为从这5人中任取2人，至少有1人的学历研究生，则基本事件的全体 ， ，共10个， = ，共3个， . (Ⅱ)由题知 抽取的35～50岁年龄段的人数为78-48-10=20， 解得 . (19)解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M. 　…………………2分 ∵点F为PD中点，∴ . ∵ ，∴ ，…………4分 ∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM. ∵ ， ∴直线AF 平面PEC. 　　 ………………6分 (Ⅱ)存在常数 ，使得平面PED⊥平PAB . 　　 ……………………7分 ∵ ， ， ，∴ . 　 ………………………8分又∵∠DAB＝45°，∴AB⊥DE. 又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB. 　　　　　 ……………………10分又∵ ，∴AB⊥平面PDE. ∵ ，∴平面PED⊥平面PAB. …………………12分 当 时，在区间 上 为增函数， 当 时，在区间 上 为减函数，在区间 上 为增函数， 23.解：(1)将 及对应的参数 = 代入 （ 为参数）， 得 解得 . 所以曲线 的普通方程为 . ......2分设圆 的半径为R，则圆 的极坐标方程为 ，将点 代入得 ，解得 ，所以圆 的极坐标方程为 . .......5分 (2)曲线 的极坐标方程为 ，将 代入得 所以 . .....10分 24.(1) 当 时， 得 ，即 ； 当 时， 得 ， 即 ； 当 时， 得 ， 得 无解； 综上 ，所以 的解集为 .......5分 (2) 如图：