2015年（春）高三考前冲刺测试卷

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知纯虚数
满足
，其中
为虚数单位，则实数
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知函数
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知命题
：
，
；则“
”是“
为假命题”的（ ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）以坐标原点
为顶点，
轴的正半轴为始边，角
，
，
的终边分别为
，
，
，
为
的角平分线，若
，则
（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）某几何体的三视图如题（7）图所示，则该几何体的表面积为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）已知函数
的导函数为
，且
在
处取得极大值，设
，执行如题（7）图的程序框图，若输出的结果大于
，则判断框内可填入的条件是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）直线
过抛物线
：
的焦点，且与抛物线
交于
、
两点，过点
、
分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为
、
，则四边形
的面积的最小值为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（9）有大小形状完全相同的4个红球，2个白球，放入如题（9）图所示的九个格子中，每个格子至多放入1个小球，相邻格子（即有公共边的两个正方形）中放入的小球不同色，则不同的方法共有（ ）

（A）
种 （B）
种 （C）
种 （D）
种

（10）设
、
是
所在平面上异于
、
、
的两点，用
，
，
，
分别表示向量
,
,
,
，已知
，
,
,
，点
是
外接圆的圆心，则
，
，
的面积之比为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相对应位置上．

（11）某人在5场投篮比赛中得分的茎叶图如题（11）如所示，若5场比赛的平均得分为11分，则则5场比赛得分的方差为 ．

（12）设公差不为零的等差数列
的前
项和为
，若
、
、
成等比数列，则
．

（13）已知二次函数
，若
，
恒成立，则
的最小值为 ．

考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请你从中人选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．

（14）如图（14）图，
为圆
的直径，
为圆心，
与圆
相切于点
，
交圆
于点
，
的延长线交
于点
，若
，
，则
．

（15）以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数），则直线
将曲线
的周长分为1:5，则实数
．

（16）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）当
，求
的值域．

（18）（本小题满分13分）

某校推行选修数学校本课程，每位同学可以从甲、乙两个科目中人选一个．已知某班第一小组和第二小组个六位同学的选课情况如下表：

科目甲

科目乙



第一小组

1

5



第二小组

2

4



现从第一小组、第二小组中各选2人进行课程交流．

（Ⅰ）求选出的4人均选修科目乙的概率；

（Ⅱ）选出的4人中选修科目甲的人数记为
，求随机变量
的分布列及数学期望．

（19）（本小题满分13分）

如题（19）图所示，四棱锥
中，
平面
，底面
是边长为4的棱形，
，
与
交于点
，
、
分别是
、
的中点，异面直线
与
所成角的余弦值为
．

（Ⅰ）求
的长；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

（20）（本小题满分12分）

已知函数
，
,其中
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）若存在区间
，使得
与
在区间
上具有相同的单调性，求
的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

如题（21）图，椭圆
：
的离心率为
，
、
为其左、右焦点，且
，动直线
：
与椭圆
有且仅有一个公共点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过
、
分别作直线
的垂线，垂足分别为
、
，求四边形
面积的最大值．

（22）（本小题满分12分）

已知各项都是整数的数列
满足：
，
．

（Ⅰ）求
，
，
的值，并猜想数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的前
项和为
，
，若
…
，
…
，求证：
．

2015年(春)高三考前冲刺测试卷

数学（理工农医类）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1～5 BDBAD 6～10 DBBCC

（10）提示：由题知

，

同理可得
故
是
的垂心，如图所示．

设
，则
，

，

由

即

又
，
，则

从而
，于是

故
，选C．

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．

（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
或
（16）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

所以函数
的最小正周期为
；……6分

（Ⅱ）

．……13分

（18）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
； ……6分

（Ⅱ）
可能的取值为
，
，
，

，
∴
的分布列为：























∴
. ……13分

（19）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）如图,以
为原点,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系.

设
则

由
； ……6分

（Ⅱ）由题意知
是平面
的一个法向量，

设平面
的法向量为
,由

设二面角
的大小为
，则
……13分

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当
时，
，故当
时，
单调递减；当
时，
单调递增；

所以，
在
处取得极小值
，无极大值； ……5分

（Ⅱ）
，

当
时，
，即
在
上单调递增，而
在
上单调递增，

故必存在
，使得
与
在
上单调递增；

当
时，