辽宁省锦州市2015届高三质量检测（二）

数学（理）试题

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷 （选择题） 和第Ⅱ卷 （非选择题） 两部分， 共150分， 考试时间120分

钟。答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改

动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号， 写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。

4.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、 选择题： 本大题共12小题， 每小题5分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.

（1） 已知全集U=R， 集合A=
， 则{ x|x≤0 }等于

（A） A∩B （B） A∪B （C）?U（A∩B） （D）?U（A∪B）

（2） 复数z满足
， 则z等于

（A） 2-i （B） 2+i （C） 1+2i （D） 1-2i

（3） 下列说法不正确的是

（A） 若 “p且q” 为假， 则p、 q至少有一个是假命题

（B） 命题 “?x0 ∈ R，x
- x0 - < 0” 的否定是 “?x ∈ R，x2- x - 1≥0”

（C）“
” 是 “y=sin （2x+
） 为偶函数” 的充要条件

（D） α<0时， 幂函数y=xa在 （0， +∞） 上单调递减

（4） 某几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积为

（A） 200+9π

（B） 200+18π

（C） 140+9π

（D） 140+18π

（5） 已知x、 y满足约束条件
则 z = x + 2y 的最大值为

（A） -2 （B） -1 （C） 1 （D） 2

（6） 若如图所示的程序框图输出的S是30， 则在判断框中M表

示的 “条件” 应该是

（A） n≥3 （B） n≥4

（C） n≥5 （D） n≥6

（7） 已知向量
与
的夹角为120°， 且 |
| = 2， |
| = 3，

若
且
， 则实数λ的值为

（A）
（B） 13

（C）6 （D）

（8） 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道， 要求4名水暖工都分配出去， 并每

名水暖工只去一个居民家， 且每个居民家都要有人去检查， 那么分配的方案共有

（A）
种 （B）
种 （C）
种 （D）
种

（9） △ABC各角的对应边分别为a， b， c， 满足
， 则角A的范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（10） 函数 f (x)= sin(2x +
) ( |
| <
)的图象向左平移
个单位后关于原点对称， 则函数 f (x)在[0,
]上的最小值为

（A）－
（B）－
（C）
（D）

（11） 过双曲线
= 1 (a > 0,b > 0)的一个焦点F向其一条渐近线作垂线
， 垂足为A，
与

另一条渐近线交于B点， 若
， 则双曲线的离心率为

（A） 2 （B）
（C）
（D）

（12） 设函数 f (x)的导函数为 f ′(x)， 对任意x∈R都有 f (x)> f ′ (x)成立， 则

（A） 3f（ln2）＜2f（ln3） （B） 3f（ln2）＝2f（ln3）

（C） 3f（ln2）＞2f（ln3） （D） 3f（ln2）与2f（ln3） 的大小不确定

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第 （13） 题~第 （21） 题为必考题， 每个试题考生必须做

答.第 （22） 题~第 （24） 题为选考题， 考生根据要求做答.

二、 填空题： 本大题共4小题， 每小题5分.

（13） 设函数 f (x)=(x + a)n， 其中
， 则 f (x)的展开式中的x4系数为_______.

（14） 已知x>0， y>0， 且
， 则
的最小值为_____________.

（15） 已知函数
， 且函数
只有一个零点， 则实数a的取值范围是_____________.

（16） 已知抛物线C：y2= 2px (p > 0)的焦点为F， 过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第

一、 四象限分别交于A、 B两点， 则
的值等于_____________.

三、 解答题： 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn， 且满足a1 = 2， nan + 1 = Sn + n(n + 1) .

（Ⅰ） 求数列{an}的通项公式an；

（Ⅱ） 设Tn为数列
}的前n项和， 求Tn；

（Ⅲ） 设
， 证明：

（18）（本小题满分12分）

如图， 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， D、 E分别是BC和CC1的中点， 已知AB=AC=AA1=4，

∠BAC=90°.

（Ⅰ） 求证： B1D⊥平面AED；

（Ⅱ） 求二面角B1-AE-D的余弦值；

（Ⅲ） 求三棱锥A-B1DE的体积.

（19）（本小题满分12分）

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关， 某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题， 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位： 人）

（Ⅰ） 能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（Ⅱ） 经过多次测试后， 甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟， 乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟， 现甲、 乙各解同一道几何题， 求乙比甲先解答完的概率．

（Ⅲ） 现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X， 求X的分布列及数学期望E （X） ．

附表及公式

（20） （本小题满分12分）

已知F1F2是椭圆
= 1 (a > b > 0)的两个焦点， O为坐标原点， 点 P(-1,
)在椭圆

上， 且
是以F1F2为直径的圆， 直线
： y=kx+m与⊙O相切， 并且与椭圆交于

不同的两点A、 B.

（Ⅰ） 求椭圆的标准方程；

（Ⅱ） 当
， 且满足
时， 求弦长|AB|的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

己知函数
．

（Ⅰ） 若 x =
为 f (x)的极值点， 求实数a的值；

（Ⅱ） 若 y = f (x)在[l， +∞） 上为增函数， 求实数a的取值范围；

（Ⅲ） 若a=-1时， 方程
有实根， 求实数b的取值范围．

请考生在第 （22） ~ （24） 三题中任选一题做答， 如果多做， 则按所做的第一题计分.做答

时， 用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑， 并将所选题号填入括号中.

（22）（本小题满分10分） 选修4-1： 几何证明选讲．

如图， 圆M与圆N交于A， B两点， 以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C， D

两点，延长DB交圆M于点E， 延长CB交圆N于点F.已知BC=5， DB=10．

（Ⅰ） 求AB的长；

（Ⅱ） 求

（23）（本小题满分10分） 选修4-4： 坐标系与参数方程

在极坐标系中， 已知圆C的圆心C(
)， 半径r =
．

（Ⅰ） 求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ） 若 α ∈
， 直线
的参数方程为
为参数）， 直线
交圆C于A、 B两点， 求弦长|AB|的取值范围．

（24）（本小题满分10分） 选修4-5： 不等式选讲

已知函数 f (x)= |x - 2|，g(x)= -|x + 3| +m．

（Ⅰ） 若关于x的不等式 g(x)≥0的解集为 ［-5， -1］， 求实数m的值；

（Ⅱ） 若 f (x)的图象恒在 g(x)图象的上方， 求实数m的取值范围．

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分

（1）-（12）DBCAD BDDBA AC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）
（14）12 （15）
（16）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

-----------------（4分）

(Ⅱ)由（Ⅰ）

所以
，故
----------------------- （8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ），得

. --------------------------（12分）

(18)(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为
＝4，所以A（0，0，0），

B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B1（4，0，4）.

，
，
.

因为
，所以
，即
.

因为
，所以
，即
.

又AD、AE(平面AED，且AD∩AE=A，故
⊥平面
. ---------------------（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
为平面AED的一个法向量. （6分）

设平面 B1AE的法向量为
，因为
，
，

所以由
，得
，令y=1，得x=2，z=-2.即
.

∴
，

∴二面角
的余弦值为
. ---------------------------------（8分）

（Ⅲ）

------------------------（12分）

(19)(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)由表中数据得
的观测值
………2分

所以根据统计有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关.----------（4分）

(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为
分钟，则基本事件满足的区域为
(如图所示)

设事件
为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为

由几何概型
即乙比甲先解答完的概率为
.--------(8分)

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有
种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有
种；恰有一人被抽到有
种；两人都被抽到有
种………8分

可能取值为
，
，
，

的分布列为：



1

















………11分

.-----------------------------(12分)

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意，可知
，

∴
，解得

∴椭圆的方程为 ------------------（4分）

（Ⅱ）直线
：
与⊙
相切，则
，即
，

由
，得
，

∵直线
与椭圆交于不同的两点
设

∴
，

，

∴

∴
∴
，

∴

设
，则
，

在
上单调递增 ∴ .---------------（12分）

（21） （本小题满分12分）

解：(Ⅰ)

为f(x)的极值点,

且
又当a=0时,
,

从而
为f(x)的极值点成立.--------------------（4分）

(Ⅱ)因为f(x)在
上为增函数,所以
在
上恒成立.若a=0,则
,
在
上为增函数不成立;

若
,由
对
恒成立知
.

所以
对
上恒成立.

令

,其对称轴为
,

因为
,所以
,从而g(x)在
上为增函数,所以只要g(1)
即可,即

,所以
,又因为
,所以
.------（8分）

(Ⅲ)若
时,方程
可得

即
在
上有解

即求函数
的值域.

令
,由

当
时,
,从而h(x)在
上为增函数;当
时,
,

从而h(x)在
上为减函数.

,而h(x)可以无穷小,
的取值范围为
.------------（12分）

（22）（本小题满分
分）选修4─1：几何证明选讲．

解：（Ⅰ）根据弦切角定理，

知
，
，

∴△
∽△
，则
，

故
.--------（5分）

（Ⅱ）根据切割线定理，知
，

，

两式相除，得
（*）.

由△
∽△
，

得
，
，又
，由（*）

得
． -------------------（10分）

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）由
得，
直角坐标
,

所以圆
的直角坐标方程为
,

由
得，圆
的极坐标方程为

.------------------（5分）

（Ⅱ）将
，代入