大连市2015年高三第二次模拟考试

数学（文科）能力测试

命题人：安道波 卢永娜 薛达志 王爽 校对人：安道波

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

（1）已知集合
，
，则
等于（　 　）

（A）{2} （B）{3} （C）{1} （D）{1，3}

（2）已知复数
的共轭复数为
，若|
|＝4，则
·
＝(　　)

（A）4　 （B）2 （C）16 （D）±2

（3）对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测

数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( 　　)

（A）变量x与y正相关，u与v正相关 （B）变量x与y正相关，u与v负相关

（C）变量x与y负相关，u与v正相关 （D）变量x与y负相关，u与v负相关

（4）已知命题
则
是（ ）

（A）
(B)

(C)
(D)

(5)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5

(A) 7 (B) 6 (C) 9 (D) 8

（6）在△
中，
为
边的中点，若
，
,则
（ ）（A）
（B）
（C）
（D）

(7) 对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归直线方程为

　

196

197

200

203

204



　

1

3

6

7





则实数
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）如图所示的流程图，最后输出的n的值是(　 　)

（A）3

（B）4

（C）5

（D）6

（9）设
为抛物线
的焦点，过
且倾斜角为
的直线交曲线
于
两点（
点在第一象限，
点在第四象限），
为坐标原点，过
作
的准线的垂线，垂足为
， 则
与
的比为（ ）

（A）
（B） 2 （C） 3 （D） 4

（10）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S10＝110，则的最小值为(　　)[:学高考

（A）7 （B） （C） （D）8

（11) 已知三棱锥
的外接球的球心
在
上，且
平面
，
，若三棱锥
的体积为
，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）

（A）
(B)
（C）
（D）

（12）设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
的最小值为( )

（A）
（B）
（C）
（D）

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

（13）已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是 ．

（14）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为 ．

(15) 已知变量
满足约数条件
，则
的最小值为 ．

（16）如图在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的

三视图，则该多面体的表面积为 .

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

（17）(本小题满分12分)

如图，跳伞塔
高4，在塔顶测得地面上两点
的俯角分别是
，又测得
,求
两地的距离.

（18）(本小题满分12分)

某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：

甲厂：

分组

[29.86,29.90)

[29.90,29.94)

[29.94,29.98)

[29.98,30.02)

[30.02,30.06)

[30.06,30.10)

[30.10,30.14)



频数

15

30

125

198

77

35

20



乙厂：

分组

[29.86,29.90)

[29.90,29.94)

[29.94,29.98)

[29.98,30.02)

[30.02,30.06)

[30.06,30.10)

[30.10,30.14)



频数

40

70

79

162

59

55

35



（Ⅰ）由以上统计数据填下面
列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”.

甲 厂

 乙 厂

 合计



优质品









 非优质品









 合计









附：

0.100 0.050 0.025 0.010 0.001





 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828



（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从乙厂抽取五件零件，求从这五件零件中任意取出两件，至少有一件优质品的概率.

（19）(本小题满分12分)

在四棱锥
中，
平面
，
是正三角形，
与
的交点
恰好是
中点，又
，
，点
在线段
上，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
平面
.

（20） （本小题满分12分）

已知定点
，
为圆
上一动点，点
满足
，
.

(Ⅰ)求动点
的轨迹
的方程；

(Ⅱ)设点
坐标为
，求证：
；

（Ⅲ）过点
作直线
交
于
两点，求
的值.

（21）（本小题满分12分）

设函数
，
（
）

（Ⅰ）若函数
在区间
上不单调，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若对任意
，都有唯一的
，使得
成立，求实数
的取值范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.

（Ⅰ）求证：圆心O在直线AD上；

（Ⅱ）求证：点C是线段GD的中点.

(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的参数方程为
（
为参数），以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求
和
的极坐标方程；

(Ⅱ)已知射线
，将
逆时针旋转
得到
，且
与
交于
两点，
与
交于
两点，求
取最大值时点
的极坐标.

(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知
和
是任意非零实数.

（Ⅰ）求
的最小值．

（Ⅱ）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

大连市2015年高三第二次模拟考试参考答案

数学（文科）

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

（1）B；（2）C；（3）C； （4）B；(5) D；（6）D；(7) A；（8）B；（9）C；（10）C；

（11) C；（12）B．

二.填空题

（13）.x＋y－3＝0；（14）160； (15)
；（16）
.

三.解答题

（17）解：

,

在
中,
，

又

,

在
中,

在
中，

故

（18）解： (Ⅰ)列联表如下

甲 厂

 乙 厂

 合计



优质品

400

300

700



 非优质品

100

200

300



 合计

500

500

1000





所以有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与分厂有关”. 6分

（Ⅱ）乙厂抽取3件优质品，2件非优质品，优质品记为
，非优质品记为
8分

从中任意抽取2件，抽取的情况构成的集合为

，

至少有一件优质品的情况为为
，所以从这五件零件中任意取出两件，至少有一件优质品的概率为
. 12分

（19）

解： (Ⅰ)证明：取
中点
，因为底面
是等边三角形，则

，

又因为面
底面
，所以
面
，所以
，

又因为
，
，所以
面
，

又因为底面
是等边三角形，

所以三棱柱
为正三棱柱， 4分

四棱锥
的体积为
8分

(Ⅱ)在
如果存在一点
使得
面
，则过
交
于
，连接
，

因为
面
，所以

，所以
为平行四边形，所以
，所以
为
的中点. 12分

（20） 解（Ⅰ）因为点
满足
，

，即

又
，
三点共线，由题意知M在线段
上，

又

，
M的轨迹是以
为焦点，长轴长为
的椭圆，所以
的轨迹
的方程为
4分

（Ⅱ）设
，
，

又因为
，

（Ⅲ）（1）当直线
斜率不存在时，
=
，

，8分

当直线
斜率存在时，设直线
，

直线
与
联立得：
，

韦达定理得：

恒成立

由（Ⅱ）问结论知

=

综上
12分

（21）解：（Ⅰ）
且
在区间
上不单调，

区间
上有两不等实根或有一根，……………….3分

即
区间
上有两不等实根或有一根

令
，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，

，
的取值范围是
………………….6分

（Ⅱ）
在
上单调递增，在
上单调递减，

且
的值域为
，

记
，

原问题等价于：
，存在唯一的
，使得
成立．

当
时，
恒成立，
单调递减，由
，

，解得：
…………………..8分

当
时，
恒成立，
单调递增，
，不合题意，舍去…………………10分

当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，

且
，

要满足条件则
．

综上所述：
的取值范围是
．……………………12分

(22)解：（Ⅰ）
，
。

，

∴圆心O在直线AD上．5分

（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，
，

，
，
，

，
，
，

∴点C是线段GD的中点． 10分

(23)解：（1）曲线
的直角坐标方程为
，所以
极坐标方程为

曲线
的直角坐标方程为
，所以
极坐标方程为
4分

（2）设点
极点坐标
，即

点
极坐标为
即

则
=

8分

，
，

当
即
时
取最大值，此时
极点坐标
．10分

(24)解：（I）
对于任意非零实数a和b恒成立，

当且仅当
时取等号，

的最小值等于4． 5分

（II）
恒成立，故
不大于
的最小值,由（I）可知
的最小值等于4．

实数x的取值范围即为不等式
的解．

解不等式得
10分

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