辽宁省锦州市2015届高三质量检测（一）

数学（理）试题

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

3.答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干后，再涂其他答案标号，写在本试卷是上无效。答第Ⅱ卷时，将答案写在答题

卡上，写在本试卷是上无效。

参考公式：

球的体积公式：V=
πR3 （其中R表示球的半径）

锥体体积公式：V=
sh（其中s表示锥体底面面积，h表示锥体的高）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

（1）已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为

（A）{0，-1} （B）{-1，1} （C）{-1} （D）{0}

（2）复数z满足（－1＋i）z＝（1＋i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（3）已知向量
=（2，2），
=（4，1），点P在x轴上，则
取最小值时P点坐标是

（A）（－3，0） （B）（1，0） （C）（2，0） （D）（3，0）

（4）已知各项不为0的等差数列{an}满足a4 -2a
+3a8 =0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则

B2b8b11 等于

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8

（5）已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下

放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的

是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（A）64

（B）72

（C）80

（D）112

（7）执行下边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n等于 开始

（A）2

（B）3

（C）4

（D）5

（8）已知函数y＝f（x）的导函数为f’（x），且

,则

（A）
（B）

（C）
（D）

（9）若点P（x，y）满足线性约束条件

点
，O为坐标原点，则
的最大值为

（A）0 （B）3 （C）-6 （D）6

（10）已知抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：
（a>0，b>0）渐近线的距离为
，

点P是抛物线y2 ＝8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=-2

的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a2=10，S4=36，则过点P（n，an）和Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量是

（A）
（B）（-1，-1） （C）
（D）(2,
)

（12）已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f’(x)g(x)>f(x)g’(x)，且f(x)=axg(x) （a>0，且a≠1），
若数列
的前n项和大于62，则n的最小值为

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生必须做答.第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）在
的二项展开式中，x2的系数为____________.

（14）在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别

为
则三棱锥A-BCD的外接球体积为____________.

（15）已知函数
，则f（x）的定义域为____________.

（16）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一

点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
，且
. （Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）求三角函数式
的取值范围.

（18）（本小题满分12分）

如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相

垂直，AB=
，AF=1.

（Ⅰ）求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；

（Ⅱ）在线段AC上找一点P，使
与
所成的角为60°，

试确定点P的位置.

（19）（本小题满分12分）

某市一所高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].

（Ⅰ）求直方图中x的值；

（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C：
（a>b>0）的离心率为
，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的1

直线
交椭圆C于E，G两点，且△EGF2的周长为4

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当
时，求实数t的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

设函数f（x）=aex（x+1）（其中，e=2.71828……），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线.

（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t>-3）上的最小值；

（Ⅲ）若
x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围.

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD= A
C，AE=
AB，BD，CE相交于点F.

（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；

（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求A，E，F，D所在圆的半径.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
经过点P（1，1），倾斜角
.

（Ⅰ）写出直线
的参数方程；

（Ⅱ）设
与圆x2+y2=4相交于A，B两点，求点P（1，1）到A，B两点的距离之积.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.

（Ⅰ）求不等式f(x)≥4的解集；

（Ⅱ）若不等式f(x)<|m-2|的解集是非空的集合，求实数m的取值范围.

参考答案

一.选择题：CDDDD BCADC AA

二.填空题

（13） 40 （14）
（15）{x|x>1} （16）

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

解　(1)∵q＝(2a,1)，p＝(2b－c，cos C)且q∥p，∴2b－c＝2acos C，

由正弦定理得2sin Acos C＝2sin B－sin C，

又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，

∴sin C＝cos Asin C.

∵sin C≠0，∴cos A＝，又∵0

∴sin A＝. ………………6分

(2)原式＝＋1＝1－＝1－2cos2C＋2sin Ccos C＝sin 2C－cos 2C

＝sin(2C－)，

∵0

∴－

∴－1<sin(2C－)≤，

即三角函数式＋1的取值范围为(－1，]． ………………12分

18. （本小题满分12分）

解　(1)以C为坐标原点，分别以CD，CB，CE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，D(，0,0)，B(0，，0)，A(，，0)，F(，，1)，连接BD，则AC⊥BD.因为平面ABCD⊥平面ACEF，且平面ABCD∩平面ACEF＝AC，所以是平面ACEF的一个法向量．

又＝(－，，0)，＝(0，，1)，所以cos〈，〉＝＝.

故直线DF与平面ACEF所成角的正弦值为. ………………6分

(2)设P(a，a,0)(0≤a≤)，则＝(－a，－a,1)，＝(0，，0)．

因为〈，〉＝60°，所以cos 60°＝＝.

解得a＝或a＝(舍去)，故存在满足条件的点P(，，0)为AC的中点．…………12分

19. （本小题满分12分）

解（Ⅰ）由直方图可得：

．

所以
． …………3分

（Ⅱ）新生上学所需时间不少于
小时的频率为：

，

因为
，

所以1200名新生中有
名学生可以申请住宿． …………6分

（Ⅲ）
的可能取值为

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于
分钟的概率为
，

,
,

,
,

． 10分

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4


















．（或
）

所以
的数学期望为
． …………12分

20. （本小题满分12分）

解　(1)由题意知椭圆的离心率e＝＝，

∴e2＝＝＝，即a2＝2b2.

又△EGF2的周长为4，即4a＝4，

∴a2＝2，b2＝1.

∴椭圆C的方程为＋y2＝1. …………6分

(2)由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.

设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，

由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.

由Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)>0，得k2<.

x1＋x2＝，x1x2＝，

∵＋＝t，

∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，

x＝＝，

y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝. …………8分

∵点P在椭圆C上，∴＋2＝2，

∴16k2＝t2(1＋2k2)．

∵|－|<，∴|x1－x2|<，

∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<，

∴(1＋k2)[－4·]<，

∴(4k2－1)(14k2＋13)>0，∴k2>.∴

∵16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝＝8－，

又<1＋2k2<2，∴

∴－2

∴实数t的取值范围为(－2，－)∪(，2)． …………12分

21. （本小题满分12分）

解　(1)f′(x)＝aex(x＋2)，g′(x)＝2x＋b.

由题意，得两函数在x＝0处有相同的切线．

∴f′(0)＝2a，g′(0)＝b，

∴2a＝b，f(0)＝a，g(0)＝2，∴a＝2，b＝4，

∴f(x)＝2ex(x＋1)，g(x)＝x2＋4x＋2. …………6分

(2)f′(x)＝2ex(x＋2)，由f′(x)>0得x>－2，

由f′(x)<0得x<－2，

∴f(x)在(－2，＋∞)单调递增，

在(－∞，－2)单调递减．∵t>－3，

∴t＋1>－2.

①当－3

∴f(x)min＝f(－2)＝－2e－2.

②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]单调递增，

∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)；

∴f(x)＝ …………9分

(3)令F(x)＝kf(x)－g(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，

由题意当x≥－2时，F(x)min≥0.

∵?x≥－2，kf(x)≥g(x)恒成