大连市2015年高三第二次模拟考试

数学（理科）能力测试

命题人：安道波 周亚明 寥尔华 王爽 校对人：安道波

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

（1）已知集合
，
，则
等于（　 　）

（A）{2} （B）{3} （C）{1} （D）{1，3}

（2）已知复数
的共轭复数为
，若|
|＝4，则
·
＝(　 　)

（A）4　 （B）2 （C）16 （D）±2

（3）对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测

数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断(　　)

（A）变量x与y正相关，u与v正相关 （B）变量x与y正相关，u与v负相关

（C）变量x与y负相关，u与v正相关 （D）变量x与y负相关，u与v负相关

（4）有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，

则不同的选法共有（ ）21世纪教育网版权所有

(A)
（B）
（C）
（D）

（5）在△
中，
为
边的中点，若
，
,则
（ ）（A）
（B）
（C）
（D）

(6) 如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为
，圆上最低点与地面距离为
，图中
与地面垂直，以
为始边，逆时针转动
角到
，设
点与地面距离为
，则
与
的关系式为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）如图所示的流程图，最后输出n的值是(　 　)

（A）3

（B）4

（C）5

（D）6

（8）设
为抛物线
的焦点，过
且倾斜角为

的直线交曲线
于
两点（
点在第一象限，
点在

第四象限），
为坐标原点，过
作
的准线的垂线，垂足

为
， 则
与
的比为（ ）

（A）
（B） 2 （C） 3 （D） 4

（9）用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平

面的个数有（ ）

（A）6个 （B）7个 （C）10个 （D）无数个

（10）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（11)定义[
]表示不超过
的最大整数．设
，且
，则下列不等式恒成立的是（ ）

（A）
（B）当
时，

（C）
（D）当
时，

（12）对
，下列四个命题：①
；②
；③
；④
，则正确命题的序号是（ ）

（A）①、② （B）① 、 ③ （C）③、④ （D）②、④

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

（13） 如图，设抛物线
的顶点为
，与

轴正半轴的交点为
，设抛物线与两坐标轴正半轴围成

的区域为
，随机往
内投一点，则点
落在

△
内的概率是 ．

（14）若
，

则
的值为 ．

(15) 设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
的最小值为 .

（16）已知双曲线
左右顶点为
，左右焦点为
，
为双曲线
上异于顶点的一动点，直线
斜率为
，直线
斜率为
，且
，又
内切圆与
轴切于点
，则双曲线方程为 ．

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

（17）(本小题满分12分)

已知两个数列
，
，其中
是等比数列，且
，
，
．

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
的前
项和为
，求证：
．

（18）(本小题满分12分)

某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：

甲厂：

分组

[29.86,29.90)

[29.90,29.94)

[29.94,29.98)

[29.98,30.02)

[30.02,30.06)

[30.06,30.10)

[30.10,30.14)



频数

15

30

125

198

77

35

20



乙厂：

分组

[29.86,29.90)

[29.90,29.94)

[29.94,29.98)

[29.98,30.02)

[30.02,30.06)

[30.06,30.10)

[30.10,30.14)



频数

40

70

79

162

59

55

35



（Ⅰ）由以上统计数据填下面
列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”.

甲 厂

 乙 厂

 合计



优质品









 非优质品









 合计









附：

0.100 0.050 0.025 0.010 0.001





 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828



（Ⅱ）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从两厂中各抽取五件零件，然后从每个厂的五件产品中各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为
，求
的分布列.

（19）(本小题满分12分)

在四棱锥
中，
平面
，
是正三角形，
与
的交点
恰好是
中点，又
，
，点
在线段
上，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

（20） （本小题满分12分）

如图，已知椭圆
中心在原点，焦点在
轴上，
分别为左右焦点，椭圆的短轴长为2，过
的直线与椭圆
交于
两点，三角形
面积的最大值为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程（用
表示）；

（Ⅱ）求三角形
面积的最大值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
， (
是自然对数的底数，
为常数).

(Ⅰ) 当
时，求
的单调区间；

(Ⅱ)若函数
在区间
上单调递减，求
的范围

(Ⅲ)当
时，函数
在区间（0,1）上是否有零点？并说明理由．

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.

（Ⅰ）求证：圆心O在直线AD上；

（Ⅱ）求证：点C是线段GD的中点.

(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的参数方程为
（
为参数），以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求
和
的极坐标方程；

(Ⅱ)已知射线
，将
逆时针旋转
得到
，且
与
交于
两点，
与
交于
两点，求
取最大值时点
的极坐标.

(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知
和
是任意非零实数.

（Ⅰ）求
的最小值．

（Ⅱ）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

大连市2015年高三第二次模拟考试参考答案

数学（理科）

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题

（1）B；（2）C；（3）C；（4）B ；（5）D ；(6) D；（7）C ；（8）C；（9）D；（10）A ；

（11) D ；（12）A．

二.填空题

（13）
；（14）
； (15)
；（16）
.

三.解答题

（17）

综上：

综上：

（18）

解： (Ⅰ)列联表如下

甲 厂

 乙 厂

 合计



优质品

400

300

700



 非优质品

100

200

300



 合计

500

500

1000





所以有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”. 6分

（Ⅱ）甲厂有4件优质品，1件非优质品，乙厂有3件优质品，2件非优质品.

从两个厂各抽取2件产品，优质品数
的取值为

；
；

，所以
10分

所以
的分布列为







4















12分

（19）解： 18. （Ⅰ）证明：∵
面
,
面
，∴
,

∵
是
的中点，△
是等边三角形，∴
．

∵
，
面
，
面
，∴
面
，

面
，∴
．……………………………………4分

(Ⅱ)由已知，可得
而
.

在四边形ABCD中，
．

．

．

.…………………………………8分

(Ⅲ)如图建立空间直角坐标系，

由(1)可知，BD为平面PAC的法向量，

设平面PBC的一个法向量为
，
,

则

令
，则