雅礼中学2015届高三年级第一次模拟考试

数 学 (文科)

( 时量：120分钟，满分：150分)

一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分）

1．设集合
,集合
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

2．复数
的实部是

A．
B．
C．
D．

【答案】C

3．命题“
”的否定为（　　）

A．
B．

C．
D.

【答案】B.

4．为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）

A．向右平移
个单位长 B．向右平移
个单位长

C．向左平移
个单位长 D．向左平移
个单位长

【答案】A

5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的
的值是



A．2 B．
C．
D．3

【答案】D

6．已知在平面直角坐标系
上的区域
由不等式组
给定．目标函数
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

7．设在△ABC中，
，
， AD是边BC上的高，则
的值等于（ ）

A.0 B.
C.4 D.

【答案】B

【解析】：由于

.由于
.所以
=
.故选B.

8．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如图（1），在平行四边形
中，有
，那么在图（2）的平行六面体
中有
等于( )

A．
B．

C．
D．

【答案】C

9．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为
，且两条曲线在第一象限的交点为P，
是以
为底边的等腰三角形，若
，椭圆与双曲线的离心率分别为
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】A

【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为
利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出
的取值范围;

设椭圆与双曲线的半焦距为
由题意知
，且


,
，

，故选A

10．已知函数
，若存在
，当
时，
，则
的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

【答案】B

【解析】：当
时，因为
，得到
的取值范围是
，所以
即
的范围是
.

二、填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）

11．曲线

（
为参数），若以点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ．

【答案】

12．在等差数列
中，
，
为方程
的两根，则
15

13．已知实数
，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．

【答案】

14．如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量
围绕着点
旋转了
角，其中
为小正六边形的中心，则
.

【答案】-1

【解析】：从图中得出，第一个到第二个OA转过了60度，第二个到第三个转过了120度，依次类推每一次边上是60度转角是120度，共有6个转角一共就是1080度，所以

.

15．若曲线

与曲线
在
上存在公共点，则
的取值范围为

【答案】

【解析】：根据题意，函数与函数在
上有公共点，令
得：

设
则

由
得：

当
时，
，函数
在区间
上是减函数，

当
时，
，函数
在区间
上是增函数，

所以当
时，函数
在
上有最小值

所以

三、解答题（本大题共6个小题，共计75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）在△
中，已知
，向量
，
，且
．

（1）求
的值；

（2）若点
在边
上，且
，
，求△
的面积．

【解析】：（1）由题意知
，

又
，
，所以
，

即
，即
，

又
，所以
，所以
，即
． 6分

（2）设
，由
，得
，

由（1）知
，所以
，
，

在△
中，由余弦定理，得
，

解得
，所以
，

所以
． 12分

17．（本小题满分12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为
.

（1）分别求出
，
的值；

（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差
和
，并由此分析两组技工的加工水平；

（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于
，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.

（注：方差
，其中
为数据
的平均数）.

【解析】：（1）根据题意可得：
，∴
，
，∴
； （4分）

（2）根据题意可得：

，

，

∵
，
，∴甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（8分）

（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为
，则所有的
有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共计
个，而
的基本事件有
，
，
，
，
，共计
个基本事件，故满足
的基本事件共有
，即该车间“待整改”的基本事件有
个，故该车间“待整改”的概率为
. （12分）

18．（本小题满分12分）已知数列
，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求适合方程
的正整数
的值。

【解析】：（Ⅰ）
时，
（2分）

时，
，
（4分）

是以
为首项，
为公比的等比数列，
（6分）

（Ⅱ）
（8分）

（11分）

（12分）

19．（本小题满分13分）已知长方体
，点
为
的中点.

（1）求证：
面
；

（2）若
，试问在线段
上是否存在点
使得

，若存在求出
，若不存在，说明理由.

【解析】：（1）证明：连结
交
于点
，所以
为
的中点，连结

在
中，
为
的中点

面
且
面

面
6分

（2）若在线段
上存在点
得

，连结
交
于点

面
且
面

又
且
面

面

面

在
和
中有：

同理：

即在线段
上存在点
有
13分

20．（本小题满分13分）已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．

解：(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，则
，

所以抛物线C的方程为x2＝4y. （2分）

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.

由
消去y，整理得x2－4kx－4＝0，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4
.

由
解得点M的横坐标
.

同理点N的横坐标xN＝
. （8分）

所以|MN|＝
|xM－xN|＝
＝

＝
. （10分）

令4k－3＝t，t≠0，则
.

当t＞0时，|MN|＝
.

当t＜0时，|MN|＝
.

综上所述，当
，即
时，|MN|的最小值是
. （13分）

21．已知函数
.

(1)当
时，
与
在定义域上单调性相反，求
的最小值。

（2）当
时，求证：存在
，使
有三个不同的实数解

，且对任意
且
都有
.

【解析】：(1)因为
---------2分。

当
时，
；当
时，
对
恒成立，

所以，
对
恒成立，所以，
在
上为增函数。

根据
和
在定义域上单调性相反得，
在
上为减函数，所以
对
恒成立，即：
，所以
因为
，当且仅当
时，
取最大值
.所以
，此时
的最小值是
，-------6分

(2)因为
当
时，
，且一元二次方程
的
，所以
有两个不相等的实根

当
时，
为增函数；

当
时，
为减函数；

当
时，
为增函数；

所以当
时，
一定有3个不相等的实根
，
，

分别在
内，不妨设
，因为
，所以
即
即

即
所以

所以

，令
，则

由（1）知
在
上为减函数，又

所以当


，又

所以
即
8分