盐城市2015届高三年级第三次模拟考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.

1.已知集合
，集合
，则
▲ .

2.若复数
是纯虚数，其中
为实数，
为虚数单位，则
的共轭复数

▲ .

3.根据如图所示的伪代码，则输出的
的值为 ▲ .

4.若抛物线
的焦点
与双曲线
的一个焦点重合，

则
的值为 ▲ .

5.某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ▲ ．

6.某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ▲ ．

7.若
满足约束条件
, 则目标函数
的最大值为 ▲ ．

8.已知正四棱锥
的体积为
，底面边长为
，则侧棱
的长为 ▲ .

9.若角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边在直线
上，则
的值为 ▲ .

10.动直线
与曲线
相交于
，
两点，
为坐标原点，当
的面积取得最大值时，
的值为 ▲ .

11.若函数
，则
是函数
为奇函数的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)

12.在边长为1的菱形
中，
，若点
为对角线
上一点，则
的最大值为

▲ .

13.设
是等差数列
的前
项和，若数列
满足
且
，则
的最小值为 ▲ ．

14.若函数
有两个极值点
，其中
，且
，则方程
的实根个数为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15. (本小题满分14分)

已知
，
，记函数
.

（1）求函数
取最大值时
的取值集合；

（2）设
的角
所对的边分别为
，若
，
，求
面积的最大值.

16．(本小题满分14分)

在直三棱柱
中，
，
，点
分别是棱
的中点.

（1）求证:
//平面
；

（2）求证:平面

平面
.

17．(本小题满分14分)

某地拟建一座长为
米的大桥
，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩
、
造价总共为
万元，当相邻两个桥墩的距离为
米时（其中
），中间每个桥墩的平均造价为
万元，桥面每1米长的平均造价为
万元.

（1）试将桥的总造价表示为
的函数
；

（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩
、
除外)应建多少个桥墩？

18. (本小题满分16分)

如图,在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，直线
与
轴交于点
，与椭圆
交于
、
两点. 当直线
垂直于
轴且点
为椭圆
的右焦点时， 弦
的长为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若点
的坐标为
，点
在第一象限且横坐标为
，连结点
与原点
的直线交椭圆
于另一点
，求
的面积；

（3）是否存在点
，使得
为定值？若存在，请指出点
的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.

19．(本小题满分16分)

设函数
，
.

（1）当
时，函数
与
在
处的切线互相垂直，求
的值；

（2）若函数
在定义域内不单调，求
的取值范围；

（3）是否存在实数
,使得
对任意正实数
恒成立？若存在，求出满足条件的实数
；若不存在，请说明理由.

20．(本小题满分16分)

设函数
（其中
），且存在无穷数列
，使得函数在其定义域内还可以表示为
.

（1）求
（用
表示）；

（2）当
时，令
，设数列
的前
项和为
，求证：
；

（3）若数列
是公差不为零的等差数列，求
的通项公式.

盐城市2015届高三年级第三次模拟考试

数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

A.（选修4—1：几何证明选讲）

在
中，已知
是
的平分线，
的外接圆交
于点
.若
，
，求
的长.

B.（选修4—2：矩阵与变换）

若矩阵
属于特征值3的一个特征向量为
，求矩阵
的逆矩阵
.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
，以极点
为原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
（
为参数），试判断直线
与曲线
的位置关系，并说明理由.

D．(选修4-5：不等式选讲）

已知
为正实数，求证：
，并求等号成立的条件.

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

22．（本小题满分10分）

如图，已知四棱锥
的底面是菱形，对角线
交于点
，
，
，
，
底面
，设点
满足
.

（1）当
时，求直线
与平面
所成角的正弦值；

（2）若二面角
的大小为
，求
的值.

23．（本小题满分10分）

设
.

（1）若数列
的各项均为1，求证：
；

（2）若对任意大于等于2的正整数
，都有
恒成立，试证明数列
是等差数列.

盐城市2015届高三年级第三次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.
2.
3. 15 4. 1 5.
6.
7. 6

8.
9.
10.
11. 充分不必要 12.
13.
14. 5

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．解：（1）由题意，得
，

当
取最大值时，即
，此时
，

所以
的取值集合为
.……………………………………7分

（2）因
，由（1）得
，又
，即
，

所以
，解得
，在
中，由余弦定理
，

得
，所以
，所以
面积的的最大值为
.…14分

16. 证明：（1）在直三棱柱
中，
且
，

因点
分别是棱
的中点，所以
且
，

所以四边形
是平行四边形，即
且
，

又
且
，所以
且
，即四边形
是平行四边形，

所以
，又
平面
，所以
平面
.………………7分

（2）因
，所以四边形
是菱形，

所以
，又点
分别是棱
的中点，即
，所以
.

因为
，点
是棱
的中点，所以
，

由直三棱柱
，知
底面
，即
，

所以
平面
，则
，所以
平面
，又
平面
，

所以平面

平面
…………………………………………14分

17．解：（1）由桥的总长为
米，相邻两个桥墩的距离为
米，知中间共有
个桥墩，

于是桥的总造价
，

即

（
）………………………………7分

（表达式写成
同样给分）

（2）由（1）