2015届广州市高三数学差缺补漏题（ 理科）

1．已知向量
，
，函数
．

（1）求函数
的最大值，并写出相应
的取值集合；

（2）若
，且
，求
的值．

解析： ：（1）
，

∴当
，即当
时，
；

（2）由（1）得：
，∴
，
。

∵
，∴
，∴
．

2. 已知函数
．

（1）讨论函数
在
上的单调性；

（2）设
，且
，求
的值．

解析：（1）


，

由
得
，

当
即
时，
递增；

当
即
时，
递减；

当
即
时，
递增．

综上，函数
在区间
、
上递增，在区间
上递减．

（2）由
，即
，得
，

因为
，所以
，可得
，

则

．

3. 在△ABC中，内角
所对的边分别是
，且满足：

又
.

（1）求角A的大小；

（2）若
，求
的面积
．

解：（1）∵

∴
, 又∵

∴

（2）∵

∴
，

∴
即

∴
,

又∵

∴

4. 设
的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3
+3
-3
=4
bc ．

（1） 求sinA的值；

（2）求
的值．

解：（1）由余弦定理得

又

（2）原式

5. PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准
PM 2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.从某自然保护区2014年全年每天的PM 2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

PM 2.5日均值（微克/立方米）

[25,35]

(35,45]

(45,55]

(55,65]

(65,75]

(75,85]



频数

3

1

1

1

1

3



（1）从这10天的PM 2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

（2）从这10天的数据中任取3天数据，记
表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数，求
的分布列；

（3）以这10天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）.

解：（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则

答：恰有一天空气质量达到一级的概率为

依据条件，
服从超几何分布，其中

的可能取值为0，1，2，3，

其分布列为

0

1

2

3






[









（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为

设一年中空气质量达到一级或二级的天数为
，则

估计一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级

6. 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 。

(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；

(2) 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记
表示两人中成绩不合格的人数，求
的分布列及数学期望；

(3) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.

解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，

∴此次测试总人数为
(人).

∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)

即这次铅球测试成绩合格的人数为36

(2)
=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为
,∴
～
.

，
，
.　　　　　　　　

所求分布列为

X

0

1

2



P










两人中成绩不合格的人数的数学期望为

(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为
、
米，则基本事件满足的区域为

，

事件
“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为
，如图所示.

∴由几何概型
. 即甲比乙投掷远的概率为

7. 为培养学生良好的学习习惯，学校对高一年级中的110名学生进行了有关作业量的调查，统计数据如下表：

认为作业多

认为作业不多

合计



喜欢玩游戏

40

20





不喜欢玩游戏

20







合计











（1）请补充完成
列联表，并根据此表判断：喜欢玩游戏与作业量是否有关？

（2）若从喜欢玩游戏的60名学生中利用分层抽样的方法抽取6名，再从这6名学生中任取4名，求这4名学生中“认为作业多”的人数
的分布列与数学期望。

附：

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





解：（1）统计数据如下表：

认为作业多

认为作业不多

合计



喜欢玩游戏

40

20

60



不喜欢玩游戏

20

30

50



合计

60

50

110



将表中的数据代入公式，可求得

查表

有
的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关。

（2）易知，利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有
（名），“认为作业不多”的学生有2名。

由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数
的所有可能取值为2,3,4.

其中

所以
的分布列为

2

3

4













故
的数学期望为

8．射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为
，命中一次得3分；命中乙靶的概率为
，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量
表示该射手一次测试累计得分，如果
的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。

（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得分
的分布列和数学期望E
；

（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。

解析：（1）
的所有可能取值为
，则

，

，

，

．

的分布列为：

























，

（2）射手选择方案1通过测试的概率为
，选择方案2通过测试的概率为
,

；

,

因为
，所以应选择方案2通过测试的概率更大．

9. 如图，在斜三棱柱
中，侧面
⊥底面
，侧棱
与底面
成60°的角，
．底面
是边长为2的正三角形，其重心为
点，
是线段
上一点，且
．

（1）求证：
//侧面
；

（2）求平面
与底面
所成锐二面角的正切值．

解：（1）延长B1E交BC于点F，

∽△FEB，BE=
EC1， ∴BF=
B1C1=
BC，

从而点F为BC的中点．

∵G为△ABC的重心， ∴A、G、F三点共线． 且
，

又GE
侧面AA1B1B， ∴GE//侧面AA1B1B

（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，

∵侧面AA1B1B⊥底面ABC， ∴B1H⊥底面ABC．

又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，

∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=

在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF，

又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角．

∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH
．

在Rt△B1HT中，
，

从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为

解法2：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，

又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC．

以O为原点建立空间直角坐标系O—
如图，

则
，
，
，

，
，
．

∵G为△ABC的重心，∴
．

，∴
，

∴
．

又GE
侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．

（2）设平面B1GE的法向量为
，则由
得

可取
又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为
，则
．

由于
为锐角，所以
，进而
．

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为

10. 如图，三棱柱
中,
,
,平面
平面
,
与
相交于点
.

（1）求证：
平面
;

（2）设点
是直线
上一点，且
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值.

解析：：（1）由已知得侧面
是菱形,
是
的中点，

平面
平面
，且
，平面
平面
=AC1

平面
.

（2）设点
是
的中点，因为点
是
的中点，所以

平面
，

又因为
面
，所以平面
平面
，又平面
平面
，

平面
平面
，所以
，所以点
是
的中点。

如图，以
为原点,以
所在直线分别为
轴,
轴，z轴建立空间直角坐标系.

由已知可得
所以

设平面
的一个法向量是
由
得
，

又

由

令
，所以

平面
平面
，
，所以
平面
∴
是平面
的一个法向量是
，

平面
与平面
夹角的余弦值是

11. 如图所示,在四棱柱
中,底面
是梯形,
,侧面
为菱形,