绝密★考试结束前

2015年嵊州市高三第二次教学质量调测

数学 理科

姓名 准考考号

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;

2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：



球的表面积公式

S=4πR2

球的体积公式

V=
πR3

其中R表示球的半径

锥体的体积公式

V=
Sh

其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高

柱体的体积公式

V=Sh

其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高

台体的体积公式

其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积,

h表示台体的高



一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合
，
，
，则

Ａ．
　 Ｂ．
Ｃ．
　Ｄ．

2.为得到函数
的图象，只要把函数
图象上所有的点

Ａ．横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的
倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的
倍，横坐标不变

3.命题“对任意的

,
”的否定是

Ａ．不存在

,
B．存在

,

C．存在

,
D．对任意的

,

4.设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
中最大的是

Ａ．
B．
C．
D．

5.已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
作平行于
的渐近线的直线交
于点
，若
，则该双曲线
的离心率为

Ａ．
B．
C．
D．

6.在四棱柱
中，
平面
，底面
是边长为
的正方形，侧棱
的长为
，
为侧棱
上的动点（包括端点），则

Ａ．对任意的
，
，存在点
，使得

B．当且仅当
时，存在点
，使得

C．当且仅当
时，存在点
，使得

D．当且仅当
时，存在点
，使得

7.已知圆
的圆心为
，点
是直线
上的点，若该圆上存在点
使得
，则实数
的取值范围为

Ａ．
B．
C．
D．

8.已知向量
，
，定义：
，其中
．若
，则
的值不可能为

Ａ．
B．
C．
D．

二、填空题 (本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分)

9.已知

,函数
为奇函数. 则
=　▲ ,
= 　▲ .

10.如图，某几何体的正视图、侧视图、俯视图均为

面积为
的等腰直角三角形，则该多面体面的个

数为　▲ ，体积为　▲ ．

11.若实数
满足不等式组

则
的最小值为　▲ ，点
所组成的平面

区域的面积为　▲ ．

12.设等比数列
的前
项和为
，

若
，
，（

），

则
=　▲ ，
=　▲ .

13.已知
，
，则
的取值范围为　▲ .

14．已知抛物线
，点
，过
的焦点且斜率为
的直线与
交于
两点，若
，则实数
的值为　▲ .

15．设关于
的方程
和
的实根分别为
和
，若

，则实数
的取值范围为　▲ ．

三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)

16．（本题满分15分）

在△
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
.

已知
.

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，且△
的面积为
，求边
的长.

17．（本题满分15分）

如图，在三棱锥
中，底面△
是边长为
的等边三角形，
，
分别为
的中点，且
，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

18．（本题满分15分）

已知数列
满足：
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）（ⅰ）证明：当
时，
；

（ⅱ）若正整数
满足
，求
的值.

19．（本题满分15分）

已知椭圆
：
，右顶点为
，离心率为
，直线

：
与椭圆
相交于不同的两点
，
，过
的中点
作垂直于
的直线
，设
与椭圆
相交于不同的两点
，
，且
的中点为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设原点
到直线
的距离为
，求
的取值范围．

20．（本题满分14分）

已知
，函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值；

（Ⅱ）讨论
的图象与
的图象的公共点个数．

2015年嵊州市高三第二次教学质量调测答案

数学 理科

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A

二、填空题 (本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分)

9.
,
10.
,
11.
,
12.
,

13.
14.
15.

三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)

16．（本题满分15分）

解：（Ⅰ）∵
. ......1分

∴

由正弦定理得，
. ......4分

即

∴
. ......7分

又
,∴
. ......8分

（Ⅱ）∵△
的面积为
， ∵
. ......11分

∴
即
. ......13分

∵
∴
. ......15分

17．（本题满分15分）

（Ⅰ）∵
，
,

∴
.

又∵
，∴△
是边长为
的等边三角形.

∵
为
的中点，∴
. ......2分

又△
是边长为
的等边三角形，
为
的中点，

∴
. ......4分

又∵
,∴
平面
. ......6分

（Ⅱ）如图，取
中点
，
中点
，联结
，
。

由（Ⅰ）可知
，
，

所以
，

所以
平面
.

如图建立空间直角坐标系
，则.

，
，
，
，
....8分

所以
，
，

所以平面
的法向量为
......11分

所以
，
，

所以平面
的法向量为
......13分

所以平面

......15分

即平面
与平面
所成角的余弦值为
．

18．（本题满分15分）

解（Ⅰ）∵

∴
，∴
. ......4分

（Ⅱ）（ⅰ）∵
， ①

∴
，
. ② ......6分

由①
②得
. ......8分

∴
，

即当
时
. ......10分

（ⅱ）由
，

∵
，
，
，....,
，

∴

.