2015届黄冈中学高三下5月模拟考试 数学试题（理）

命题：董明秀 审题：汤彩仙 校对：陈思锦

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
的共轭复数是

A.
B.
C.
D.

2.设全集
，函数
的定义域为
，集合
，则
的元素个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3．下列四种说法中，正确的个数有

①命题“
∈R，均有
≥0”的否定是：“
∈R，使得
”

②“命题p
q为真”是“命题p
q为真”的必要不充分条件；

③

，使
是幂函数，且在
上是单调递增

④若数据
，…，
的方差为1，则
的方差为2

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4．已知x，y满足
的最大值是最小值的4倍，则
的值是

A．
B．
C．
D．4

5. 如图所示的茎叶图（图一）

为高三某班50名学生的化学考

试成绩，图（二）的算法框图中

输入的
为茎叶图中的学生成绩，

则输出的
分别是

A．
B．

C．
D．

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
B．2 C．
D．

7．先后掷一枚质地均匀骰子（骰子的六个面上分别标有
、
、
、
、
、
个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为
,
,设事件
为“
为偶数”， 事件
为

“
,
中有偶数且
”，则概率
等于

A．
B．
C．
D．

8.设函数
的所有正的零点从小到大依次为
.

设
，则
的值是

A.0 B.
C.
D.1

9. 过曲线
的左焦点
作曲线
的切线，设切点为M，延长
交曲线
于点N，其中
有一个共同的焦点，若
，则曲线
的离心率为

A.
B.
C.
D.

10.已知非零向量
满足
，
，若对每一个确定的
，
的最大值和最小值分别为
，则
的值为

A.随
增大而增大 B. 随
增大而减小 C.是
D. 是

二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一） 必考题（11—14题）

11.若
的二项展开式中各项的二项式系数的和是
，展开式中的常数项为 ___________（用数字作答）.

12．已知等差数列
满足
，
是该数列的前n项的和，则
.

13．计算
，可以采用以下方法：构造等式：

，两边对x求导，

得
，在上式中令
，

得
．类比上述计算方法，

计算
_________．

14.如果
的定义域为
，对于定义域内的任意
，存在实数
使得
成立，则称此函数具有“
性质”. 给出下列命题：

①函数
具有“
性质”；

②若奇函数
具有“
性质”，且
，则
；

③若函数
具有“
性质”， 图象关于点
成中心对称，且在
上单调递减，则
在
上单调递减,在
上单调递增；

④若不恒为零的函数
同时具有“
性质”和 “
性质”，且函数
对
，都有
成立，则函数
是周期函数.

其中正确的是 (写出所有正确命题的编号)．

(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）

15.如图，圆A与圆B交于C、D两点，圆心B在圆A上，DE

为圆B的直径，已知
，则圆A的半径为_______.

16．在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点
为直线
上一点，点
为曲线
为参数）上一点，则
的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）在锐角△ABC中，
．

（Ⅰ）求角
；

（Ⅱ）若
，当
取得最大值时，求
和
．

18．（本小题满分12分） 黄冈市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：

申请意向

年龄

摇号

竞价（人数）

合计





电动小汽车（人数）

非电动小汽车（人数）







30岁以下（含30岁）

50

100

50

200



30至50岁（含50岁）

50

150

300

500



50岁以上

100

150

50

300



合计

200

400

400

1000



（Ⅰ）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；

（Ⅱ）在（Ⅰ）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；

（Ⅲ）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为
，求
的分布列和数学期望．

19.（本小题满分12分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA＝AD＝DC＝
BC＝a，E是BC的中点，将△BAE沿AE折起到
的位置，使平面
平面
，F为B1D的中点.

（Ⅰ）证明：B1E∥平面ACF；

（Ⅱ）求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）设数列
的前
项和为
，满足
，
，且
成等比数列．

（Ⅰ）求
，
，
的值； （Ⅱ）设
，
，求
的通项公式．

21．（本小题满分13分）已知椭圆

的离心率为
，长轴长为
．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设
为椭圆C的右焦点，T为直线
上纵坐标不为
的任意一点，过
作
的垂线交椭圆C于点P，Q.

（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求
的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当
最小时，求点T的坐标．

22. （本小题满分14分）已知

，其中
均为实数．

（Ⅰ）求
的极值；

（Ⅱ）设
,求证:对
恒成立；

（Ⅲ）设
，若对
给定的
，在区间
上总存在
使得

成立，求
的取值范围．

答 案

11.
12.
13.
14. ①③④ 15.
16.

17.

18.

19（1）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD所以FO∥B1E， 所以
。………………4分

(2) 取AE的中点M，连结B1M，连结MD，则∠AMD=
，

分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系，则
,

,
,
,所以1，
，
,
,设面ECB1的法向量为
，
，令x=1,
，…8分

同理面ADB1的法向量为
…………10分

所以
，

故面
所成锐二面角的余弦值为
………… 12分

20.

（2）由
得

两式相减得

两边同时除以
得
，则
……8分

当
时，

当
时，
满足上式，所以
，

从而
.....................................12

21．解：（1）由已知解得

所以椭圆C的标准方程是
. ………………………………（2分）

（2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是(2，0).

设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝.

设M为PQ的中点，则M点的坐标为
. …………5分

因为
，所以直线FT的斜率为
，其方程为
.

当
时，
，所以点
的坐标为
，

此时直线OT的斜率为
，其方程为
.

将M点的坐标为
代入，得
.

解得
. ………………………………………………8分

（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线
上任意一点可得，点T点的坐标为
.

于是
，

. …………10分

所以

. ……………12分

当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值
．

故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)． ……………13分

22. 解：（1）
极大值
，无极小值； ………………4分

（2）
，
,在
上 是增函数，又
,在
上是增函数设
，则原不等式转化为

即
…6分 令

单减
在
恒成立

单减，即所证不等式成立 ………………………………9分

(3）由(1）得

所以，
，又
不符合题意。 当
时，要
，

那么由题意知
的极值点必在区间
内，即

得
，且函数
在