海南省2015年高考模拟试卷

数学文科试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，则M∩N=(　　)

A．
B．
C．
D．

2．复数
的共轭复数是(　　)

A．
B.
C．
D．

3．若
满足约束条件：
；则
的取值范围为 ( )

A．
B.
C．
D．

4.已知函数
和
的图象的对称轴完全相同，若
，则
的取值范围是（ ）

A．
B.
C．
D．

5.执行右图所示的程序框图（其中
表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（ ）

A．7 B． 6 C．5 D．4

6. 从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，其中奇数的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

8．各项都为正数的等比数列
的前
项和为
，若
，
，则公比的值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

9．设点P是双曲线
与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. D.

10．已知函数
，其中
．若对于任意的
，都有
，则
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

11．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表.

x

－1

0

4

5



f(x)

1

2

2

1





f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．下列关于函数f(x)的命题：

①函数y＝f(x)是周期函数；

②函数f(x)在[0,2]是减函数；

③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；

④当1

其中真命题的个数是 (　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

12．在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若
,则
的最大值为（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D.

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上.

13．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为

14．如图，正六边形
的边长为
，则
______

15．已知函数
的图象与y轴的交点为
，

它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为
和
则
=

16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_______

三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）

17．（本小题满分12分）已知数列{an}满足：a1=20，a2=7，an+2﹣an=﹣2（n∈N*）．

（Ⅰ）求a3，a4，并求数列{an}通项公式；

（Ⅱ）记数列{an}前2n项和为S2n，当S2n取最大值时，求n的值．

18．（本小题满分12分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过
小时收费
元，超过
小时的部分每小时收费
元（不足
小时的部分按
小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过
小时．

（1）若甲停车
小时以上且不超过
小时的概率为
，停车付费多于
元的概率为
，求甲停车付费恰为
元的概率；

（2）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为
元的概率．

19.（本小题满分12分） 在三棱柱
中，侧面
为矩形，
，D为
的中点，BD与
交于点O，
侧面
．

(I)证明：
；

(Ⅱ)若
，求三棱锥
的体积．

20.（本小题满分12分）已知圆的方程为
，过点
作圆的两条切线，切点分别为
、
，直线
恰好经过椭圆
：
的右顶点和上顶点．

（1）求直线
的方程及椭圆
的方程；

（2）若椭圆
以
的长轴为短轴,且与
有相同的离心率，点A,B分别在椭圆
和
上,
（
为原点），求直线
的方程.

21.（本小题满分12分） 已知函数
．

(I)当
时，求函数
的单调区间和极值；；

(Ⅱ) 若
恒成立，求实数
的值。

四．选考题（从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分. 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置

22．(本小题满分10分)选修4
1：如图，AB是圆O的直径，C，D

是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，

点F在DG的延长线上，且
。求证：

（1）D、E、C、F四点共圆； （2）

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以原点O为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为

。

（Ⅰ）当
时，设
为圆C的直径，求点
的极坐标；

（Ⅱ）直线
的参数方程是
（
为参数），直线
被圆C截得的弦长为
，若
，求
的取值范围。

24、(本小题满分10分)选修4
5：已知函数
。

（1）解不等式
；

（2）若
，且
，求证：
。

海南省2015年高考模拟试卷文科答案

一、BCDD ABBA DBDC

二、13、(3,2) 14、
15、
16、

17.解：（I）∵a1=20，a2=7，an+2﹣an=﹣2 ∴a3=18，a4=5………………2分

由题意可得数列{an}奇数项、偶数项分别是以﹣2为公差的等差数列

当n为奇数时，
=21﹣n

当n为偶数时，
=9﹣n………………5分

∴an=
………………6分

（II）s2n=a1+a2+…+a2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+…+a2n）

=

=-2n2+29n …10分

结合二次函数的性质可知，当n=7时最大 ………………12分

18．（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为
元”为事件
， ………………1分

则
．所以甲临时停车付费恰为
元的概率是
． ………4分

（Ⅱ）解：设甲停车付费
元，乙停车付费
元，其中
． ………6分

则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：

，共
种情形． ………10分

其中，
这
种情形符合题意．

故“甲、乙二人停车付费之和为
元”的概率为
． …………12分

19.解：(1)证明：由题意

且
,

,所以
,……………………3分

又
侧面
，
, 又
与
交于点
，所以
,

又因为
,所以
. ………6分

（2）因为

且
平面

. …………12分

20. 解：（Ⅰ） 观察知，
是圆的一条切线，切点为
，

设
为圆心，根据圆的切线性质，
， --------------2分

所以
，所以直线
的方程为
-----4分

直线
与
轴相交于
，依题意
，所求椭圆的方程为
------6分

（2）依题意椭圆
的方程为
------ 8分

9分

11分

12分

21.⑴解:注意到函数
的定义域为
,
,

当
时,
,-------------------2分

若
,则
;若
,则
.

所以
是
上的减函数,是
上的增函数, 故
,

故函数
的减区间为
,增区间为
,极小值为
,无极大值.---5分

⑵解:由⑴知
,

当
时,
对
恒成立,所以
是
上的增函数,

注意到
,所以
时,
不合题意.-------7分

当
时,若
,
;若
,
.

所以
是
上的减函数,是
上的增函数,

故只需
. --------9分

令
,
,

当
时,
; 当
时,
.

所以
是
上的增函数,是
上的减函数.

故
当且仅当
时等号成立.

所以当且仅当
时,
成立,即
为所求. --------12分

22.解：（Ⅰ）如图，连结OC，OD，则OC⊥CG，OD⊥DG，

设∠CAB＝∠1，∠DBA＝∠2，∠ACO＝∠3，

∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2．

所以∠DGC＝180(－∠DOC＝2(∠1＋∠2)． …3分

因为∠DGC＝2∠F，所以∠F＝∠1＋∠2．

又因为∠DEC＝∠AEB＝180(－(∠1＋∠2)，

所以∠DEC＋∠F＝180(，所以D，E，C，F四点共圆． …5分

（Ⅱ）延长GE交AB于H．因为GD＝GC＝GF，所以点G是经过D，E，C，F四点的

圆的圆心．所以GE＝GC，所以∠GCE＝∠GEC． …8分

又因为∠GCE＋∠3＝90(，∠1＝∠3，所以∠GEC＋∠3＝90(，所以∠AEH＋∠1＝90(，

所以∠EHA＝90(，即GE⊥AB． …10分

23．解：（Ⅰ）
时，圆C的直角坐标方程为
，……2分

∴圆心C（2，－2），又点O的直角坐标为（０，０），且点Ａ与点O关于点C对称，

所以点A的直角坐标为（4，－4），极坐标为
……………5分

（Ⅱ）圆C的直角坐标方程为
，直线l的方程为y=2x．

所以圆心C（
，
）到直线l的距离为
，……………8分

∴d=2
=
．所以
≥
，解得
.…………………10分

24.解：（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝

（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|． …6分

因为|a|＜1，|b|＜1，

所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，

所以|ab－1|＞|a－b|． 故所证不等式成立． …10分

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