海南省2015年高考模拟测试题

理科数学试题卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的;每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.)

1、若
为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数
的共轭复数是

A．
　 B.
C．
　　 D．

2、能够把圆
:
的周长和面积同时分为相等的两

部分的函数称为圆
的“和谐函数”,下列函数不是圆
的“和谐函数”的是

A．
B．
C．
D．

3、若函数
的图象在
处的切线与圆
相切,则
的最大值是

A. 4 B.
C. 2 D.

4、设集合
，
，从集合
中随机地取出一个元素
，则
的概率是

A．
B．
C．
D．

5、在
中，
，
边上的高分别为
，则以
为焦点，且过
两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为

A.　1　 B.　
　 C. 2　　 D.

6、根据如图所示程序框图，若输入
，
，

则输出m的值为

A. 34 B. 37 C. 148 D.333

7、下列命题，正确的个数是

①直线
是函数
的一条对称轴

②将函数
的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），再向左平行移动
个单位长度变为函数
的图像．

③设随机变量
～
，若
，
，则

④
的二项展开式中含有
项的二项式系数是210.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8、如图，在棱长为
的正方体
中，
为
的中点，
为
上任意一点，
为
上任意两点，且
的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是

A. 点
到平面
的距离 B. 三棱锥
的体积

C. 直线
与平面
所成的角 D.二面角
的大小 9、已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组

则
的最大值等于

A．
B．
C．
D．

10、已知函数
和函数
在区间
上的图像交于
两点，则
的面积是

A.
B.
C.
D.

11、已知双曲线
的左、右焦点分别为
，双曲线的离心率为
，若双曲线上一点
使
，
点为直线
上的一点，且
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

12、设等差数列
的前
项和为
，已知
，
，则下列结论正确的是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

第Ⅱ卷

二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13、在△
中，
，
，
，且△
的面积为
，则
=_______

14、采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________

15、某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中
的面积为__________.

16、若对于定义在R上的函数
,其图象是连续不断的，且存在常数
使得
对任意实数
都成立，则称
是一个“
—伴随函数”. 有下列关于 “
—伴随函数”的结论：①
是常数函数中唯一个“
—伴随函数”；②
不是“
—伴随函数”；

③
是一个“
—伴随函数”；④“
—伴随函数”至少有一个零点. 其中不正确的序号是_________（填上所有不正确的结论序号）．

三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）设等差数列
的前
项和为
，且
，
，

（1）求等差数列
的通项公式
.

（2）令
，数列
的前
项和为
.证明：对任意
，都有

.

18. （本小题满分12分）如图，直角梯形
与等腰直角三角形
所在的平面互相垂直．
∥
，
，
，
．

（1）求证：
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（3）线段
上是否存在点
，使
// 平面
？若存在，求

出
；若不存在，说明理由．

19.（本小题满分12分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人。

（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；

（2）学校从成绩在[70，100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生实力相当，且能通过复试的概率均为
，设成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为
，求
的分布列和数学期望.

20.（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，椭圆
的右焦点
和抛物线

的焦点相同.

（1）求椭圆
的方程.

（2）如图，已知直线

与椭圆
及抛物线
都有两个不同的公共点，且直线
与椭圆
交于
两点；过焦点
的直线
与抛物线
交于
两点，记
，求
的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知函数
.

（1）讨论函数
的单调性；

（2）对于任意正实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）是否存在最小的正常数
，使得：当
时，对于任意正实数
，不等式
恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.

四、选答题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.）

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB是
的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且
，求证：

（1）
；

（2）
．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
(
为参数)，若以该直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为：
（其中
为常数）.

（1）若曲线
与曲线
只有一个公共点，求
的取值范围；

（2）当
时，求曲线
上的点与曲线
上点的最小距离.

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（1）若a=1，解不等式
；

（2）若函数
有最小值，求实数a的取值范围.

海南省2015年高考模拟测试题

数学理科卷参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

D

C

C

B

B

C

A

A

A

D



二、填空题

13、
14、0.25 15、
16、 ① ③

三、解答题

17、解：（1）.设等差数列
的首项为
，公差为
，则由
，
得

，解得
，所以
……….6分

（2）.因为
，所以
，则
=
.

因为
，所以
. ……….12分

18、证明：（Ⅰ）取
中点
，连结
，
．因为
，所以
．

因为四边形
为直角梯形，
，
，

所以四边形
为正方形，所以
．

所以
平面
． 所以
．……4分

解：（Ⅱ）因为平面
平面
，且
，

所以
平面
，所以
． 由
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
．因为三角形
为等腰直角三角形，所以
，设
，所以
． 所以
，平面
的一个法向量为
． 设直线
与平面
所成的角为
，所以
， 即直线
与平面
所成角的正弦值为
．…8分

（Ⅲ）存在点
，且
时，有
// 平面
． 证明如下：由
，
，所以
．

设平面
的法向量为

，则有
所以
取
，得
．因为


，且
平面
，所以
// 平面
． 即点
满足
时，有
// 平面
．…………12分

19、解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在区间[90