湖北省襄阳五中2015届高三年级五月模拟考试（一）

理科数学试题

考试时间： 2015年5月10日

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集
集合
,则
( )A．
B．
C．
D．

2．复数
（
为虚数单位），则复数
的共轭复数为( )A．
B．
C．
D．

3．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是( )A．
B．
C．
D．

4．下列四个结论：①命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p” ．②设
是两个非零向量，则“
”是“
”成立的充分不必要条件．③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．④设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为＝0.85x－85.71，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg．其中正确的结论个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知向量
，
．若向量
满足
，
，则

（ ）.A．
B．
C．
D．

6．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 (　　)A．2，－ 　　　B．2，－ C．4，－ 　　　D．4，

7．若数列
满足
，
，则称数列
为“梦想数列”．已知正项数列
为“梦想数列”，且
，则
的最小值是( )A．2 B．4 C．6 D．8

8．若实数
满足不等式组
则
的最大值是( )　A．
B．
C．
D．

9．已知双曲线
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线
截得的弦长为
a，则双曲线的离心率为( )A．3 B．2 C．
D．

10．已知
为R上的连续函数，其导数为
，当
时，
，则关于
的函数
的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．0或2

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）

11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 .

12．设
，则
展开式中的常数项为 .（用数字作答）

13．关于圆周率
，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计
的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m；最后再根据统计数m来估计
的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计
.（用分数表示）

14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）
是数列
中的第 项；（Ⅱ）
= ．（用n表示）

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）

15．（选修
：几何证明选讲） 如图，
为△
外接圆
的切线，
平分
，交圆
于
，
共线．若
,
,
，则圆
的半径是 .

16．（选修
：坐标系与参数方程）在直角坐标系
中，曲线
的参数方程是
，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
，则两曲线交点间的距离是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）在锐角
中，
．（I）求角
；（Ⅱ）若
，求
的取值范围．

18．（本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，首项
，且对于任意
都有
．（I）求
的通项公式；（Ⅱ）设
，且数列
的前
项之和为
，求证：
．

19.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
，且各轮问题能否正确回答互不影响。（I）求该同学被淘汰的概率；（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为
，求随机变量
的分布列与数学期望．

20．（本小题满分12分）如图，已知长方形
中，
,
为
的中点.将
沿
折起，使得平面
平面
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若点
是线段
上的一动点，问点E在何位置时，二面角
的余弦值为
．

21．（本小题满分13分）如图，椭圆
的离心率为
，x轴被曲线
截得的线段长等于
的长半轴长。（Ⅰ）求
，
的方程；（Ⅱ）设
与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线
与
相交于点A,B,直线MA，MB分别与
相交与D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是
．问：是否存在直线
，使得
?请说明理由．


22．（本小题满分14分）设函数
，其中
和
是实数，曲线
恒与
轴相切于坐标原点． 
求常数
的值；
当
时，关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
求证：
．

2015届高三年级五月模拟考试（一）理科数学参考答案

1.B 2.A 3.C4.C 5.D 6.A 7.B 8.D 9.D 10.A

11. 137/60 12.210 13.47/15 14. 5035,
15. 2 16.

17. （1）由

且

……………4分

（2）
又

……………8分

……………12分

18.解：（1）解法一：由
①可得当
时，
②，

由①-②可得，
，所以
，

即当
时，
，所以
，将上面各式两边分别相乘得，
，即
（
），又
，所以
（
），此结果也满足
，故
对任意
都成立。……………7分

解法二：由
及
可得
，即
，

当
时，

（此式也适合
），
对任意正整数
均有
，

当
时，
（此式也适合
），故
。……………7分

（2）依题意可得

……………12分

19．解析：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第
轮的问题”的事件为
，

则
，
，
，

所以该同学被淘汰的概率为：

．……………6分

（Ⅱ）
的可能值为1,2,3，
，
，
．

所以
的分布列为：

1

2

3



P









数学期望为
.……………6分

20. 解：（Ⅰ）证明：连接BM，则AM=BM=
，所以

又因为面
平面
，

所以，
…………………………………………4分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系
由（I）可知，平面ADM的法向量
，设平面AEM的法向量
， 所以

…………………………………………10分

由二面角
的余弦值为
得，
，即：E为DB的中点。 …………………12分

21. 解 ：（Ⅰ）由题意知

故C1，C2的方程分别为
……………4分

（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为
.

由
得
.

设
是上述方程的两个实根，于是

又点M的坐标为（0，—1），所以

故MA⊥MB，即MD⊥ME. ……………8分

（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为
解得

则点A的坐标为
.

又直线MB的斜率为
，同理可得点B的坐标为

于是

由
得
解得

则点D的坐标为
又直线ME的斜率为
，同理，点E的坐标

于是
.因此

由题意知，

又由点A、B的坐标可知，

故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为
……………13分

22. 解析：(1) 对
求导得：
，根据条件知
，所以
. (4分)

(2) 由(1)得
，

，
.

① 当
时，由于
，有
，于是
在
上单调递增，从而
，因此
在
上单调递增，即
而且仅有
，合题意；

②当
时，由于
，有
，于是
在
上单调递减，从而
，因此
在
上单调递减，即
而且仅有
，不合题意；

③当
时，令
，当
时，
，于是
在[0,m]上单调递减，从而在
上单调递减，从而
，因此
在
上单调递减，即
而且仅有
，不合题意；.

综上可知，所求实数
的取值范围是
. （9分）

(3) 对要证明的不等式等价变形如下

所以可以考虑证明：对于任意的正整数
，不等式
恒成立. 并且继续作如下等价变形

对于
相当于（2）中
，
情形，有
在
上单调递减，即
而且仅有
. 取
，当
时，
成立；当
时，
. 从而对于任意正整数
都有
成立.

对于
相当于（2）中
情形，对于任意

，恒有
而且仅有
. 取
，得：对于任意正整数
都有
成立.

因此对于任意正整数
，不等式
恒成立.

这样依据不等式
，再令
利用左边，令
利用右边，即可得到
成立. (14分)

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