湖北省襄阳五中2015届高三年级五月模拟考试（一）

文科数学试题

考试时间： 2015年5月10日

一、选择题(共10小题，每题5分，共50分）

1. 设全集
A.
B.
C.
D.

2．复数
（
为虚数单位）在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若P是
的充分不必要条件，则
p是q的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则
的值为（ ）A．
B．
C．
D．

5. 一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为A．
B．
C．4
D．

6. 设
，则（ ）A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b

7．已知直线
上存在点
满足
,则实数
的取值范围为（ ）A．（-
，
） B．[-
，
] C．（-
，
） D．[-
，
]

8. 将函数
的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
，再将所得图象向右平移
得到函数g(x)，则函数g(x)的解析式为（ ）A．
B．
C．
D．


9．已知双曲线
(a>0，b>0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线
截得的弦长为
a，则双曲线的离心率为（ ）A．3 B．2 C．
D．

10．已知函数
，若方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）A．
B．
C．
D．

二、填空题(共7小题，每题5分，共35分）

11. 已知向量
满足
，则向量
与
夹角的余弦值为 .

12. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为_____．

13．在样本频率分布直方图中，样本容量为
，共有
个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他
个小长方形面积和的
，则中间一组的频数为 .

14．已知实数
均大于零，且
，则
的最大值为 .

15. 记
为区间
的长度．已知函数
，

(
)，其值域为
，则区间
的长度的最小值是

16. 设
是
的三边中垂线的交点,
分别为角
对应的边,已知
,则
的范围是__________________

17. 关于圆周率
，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计
的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x, y）的个数m；最后再根据统计数m来估计
的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计
__________.（用分数表示）

三、解答题

18. (本小题满分12分)已知向量
，
，设函数
.（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；（Ⅱ）在
中，边
分别是角
的对边，角
为锐角，若
，
，
的面积为
，求边
的长.

19. (本小题满分12分)已知数列
中，
，其前
项的和为
，且满足

.(Ⅰ) 求证：数列
是等差数列；(Ⅱ) 证明：当
时，
. 

20. (本题满分13分）如图所示，矩形
中，
，
，
，且
，
交于点
。（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）求三棱锥
的体积．

21. (本小题满分14分)已知函数
，（其中常数
）（Ⅰ）当
时，求
的极大值；（Ⅱ）试讨论
在区间
上的单调性；（Ⅲ）当
时，曲线
上总存在相异两点
、
，使得曲线
在点
、
处的切线互相平行，求
的取值范围．

22．（本小题满分14分）已知椭圆

的右焦点为
，且点
在椭圆
上，
为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；（Ⅱ）设过定点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
，且
为锐角，求直线
的斜率
的取值范围；（Ⅲ）过椭圆

上异于其顶点的任一点
，作圆

的两条切线，切点分别为
（
不在坐标轴上），若直线
在
轴、
轴上的截距分别为
、
，证明：
为定值．

2015届高三年级五月模拟考试（一）文科数学试题

一、选择题

1.C 2．A 3.B 4. C 5.A 6.A 7．A 8.C 9.D 10 B

二、填空题

11.
12.
13．32 14．115.3 16.
17. 47/15

三、解答题

18解：（1）

……………3分

由
，得

∴
的单调递增区间为
……………6分

（2）

∴
又A为锐角，∴
，
…………9分

S△ABC=
， ∴
，

则

∴
……………12分

19解：（Ⅰ）当
时，
， …………………2分

.
，

从而
构成以1为首项，2为公差的等差数列. ………………………………6分

（Ⅱ）由（1）可知，
，
. ………8分

当
时，
. ……10分

从而
. …12分

20解：（1）证明：由题意可得G是AC的中点，连结FG，

∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF．而BC＝BE，∴F是EC的中点， …………2分

在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD． …………………6分

（2） ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．

又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE． ………9分

∵AE∥FG．而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF．∵G是AC中点，F是CE中点，

∴FG∥AE且FG＝AE＝1．∴Rt△BCE中，BF＝CE＝CF＝，………11分

∴S△CFB＝××＝1．∴VC－BGF＝VG－BCF＝·S△CFB·FG＝×1×1＝ …13分

21解：（Ⅰ）当
时，

… … … … … 1分

当
，
时，
；当
时，

∴
在
和
上单调递减，在
单调递减 … 3分

故
… … … … … … … 4分

（Ⅱ）

5分

①当
时，则
，故
时，
；
时，

此时
在
上单调递减，在
单调递增； … … … 6分

②当
时，则
，故
，有
恒成立，

此时
在
上单调递减； … … … … … … 7分

③当
时，则
，故
时，
；
时，

此时
在
上单调递减，在
单调递增； … … … 8分

（Ⅲ）由题意，可得
（
，且
）

即


… … 9分

∵
，由不等式性质可得
恒成立，又

∴


对
恒成立 11分

令
，则

对
恒成立

∴
在
上单调递增，∴
… 12分

故
… … … … … … … …13分

从而“
对
恒成立”等价于“
”

∴
的取值范围为
… … … … … … … 14分

22．解：（Ⅰ）由题意得：
所以
2分

又因为点
在椭圆
上，所以
，可解得

所以椭圆标准方程为
． 4分

（Ⅱ）设直线
方程为
，设
、

由
得：
，

因为
，所以
， 6分

又
，

因为
为锐角，所以
， 即
，

所以
，

所以
． 8分

所以

即
，所以
．所以
，

解得
或
9分

（Ⅲ）由题意：

设点
，
，
,

因为
不在坐标轴上，所以

直线
的方程为

化简得：
④ 11分

同理可得直线
的方程为
⑤

把
点的坐标代入④、⑤得