2015届黄冈中学高三5月模拟考试

数学（文）试题

命题：熊 斌 校对：胡小琴 审 题：曾建民

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）

1．
（　　）

A．
B．
C．
D．

2．经过圆
的圆心且与直线
平行的直线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(　　)

A.
B.
C.
D.

4. 已知
与
之间的一组数据：

0

1

2

3







3

5.5

7



已求得关于
与
的线性回归方程为
＝2.1
＋0.85，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知命题

使
；命题
，下列是真命题的是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三

角形。若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系
中的

坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0），

则第五个顶点的坐标可能为（　　）

A．（1，1，1） B．（1，1，
）

C．（1，1，
） D．（2，2，
）

7.程序框图如下图所示，当
时，输出的
的值为（ ）



A．23 B．24 C．25 D．26

8．如图，已知抛物线
的焦点F恰好是双曲线
的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F，则该双曲线的离心率为（　　）

A.
B.

C.
D.
[

9. 我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求。音量大小的单位是分贝
,对于一个强度为
的声波，其音量的大小
可由如下公式计算：
(其中
是人耳能听到的声音的最低声波强度)，则
的声音强度
是
的声音强度
的（　　）

A．2倍 B．5倍 C．10倍 D．20倍

10.已知函数
(
，
，
)的部分图象如图所示，下列说法正确的个数是（　　）

①
的图象关于直线
对称

②
的图象关于点
对称

③ 若关于
的方程
在
上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为

④将函数
的图象向右平移
个单位可得到函数
的图象

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡的相应位置．)

11．若向量
满足
,
，则

12. 已知实数
，
满足
，则
的取值范围是 ．

13. 如图，在三棱柱
中，底面是边长为
的正三角形，

平面
，
，则
与侧面
所成的角的

大小为_____________

14. 已知
，则
.

15. 已知函数
是定义在R上的偶函数，且在区间
上单调递减，若实数
满足
，则实数
的取值范围是

16. 如图,△
是边长为
的正三角形,以
为圆心,
为半径，沿逆时针方向画圆弧，交

延长线于
，记弧
的长为
；以
为圆心，
为半径，沿逆

时针方向画圆弧，交
延长线于
，记弧
的长为
；以
为

圆心，
为半径，逆时针方向画圆弧，交
延长线于
，记弧

的长为
，则
.如此继续以
为圆心，
为半径，沿逆时针方

向画圆弧，交
延长线于
，记弧
的长为
，
，当弧长
时，
.

17.定义
，设函数
，若动直线
与函数
的图像有三个交点，它们的横坐标分别为
，则
的取值范围为 .

三、解答题（本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

18.（本小题满分12分）

在ΔABC中，内角
所对的边分别为
,且
－

.

（Ⅰ）求角B的大小

（Ⅱ）若
求
的面积
.

19.（本小题满分12分）已知数列
的奇数项是首项为1公差为
的等差数列，偶数项是首项为2公比为
的等比数列.
的前
项和为
，且满足
.

（Ⅰ）求
和
的值； （Ⅱ）求数列
的通项公式
及前
项和
.

20．（本小题满分13分）已知在如图的多面体中，
⊥底面
，

，


，
,

是
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面

（Ⅲ）求此多面体
的体积.

21.（本小题满分14分）已知函数
，
，其中
，
为自然对数的底数．

（Ⅰ）若
在
处的切线与直线
垂直，求
的值；

（Ⅱ）求
在
上的最小值；

（Ⅲ）试探究是否存在区间
，使得
和
在区间
上具有相同的单调性？若存在，求出区间
，并指出
和
在区间
上的单调性；若不存在，请说明理由．

22.（本小题满分14分）在平面直角坐标系
中，椭圆
的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）椭圆
的右焦点为
，过
点的两条互相垂直的直线
，直线
与椭圆
交于
两点，直线
与直线
交于
点.

（i）求证：线段
的中点
在直线
上；

（ii）求
的取值范围.

参考答案

D A B D D C B A C C

11. 1 12.
13.
14.
15.

16.
;
17.

18. 解：（１）由条件得
=2（2
）

即
=

=

化简得

,

∵
　∴　

又
　

∴　
＝
………………………

（2） 法一

由正弦定理得：
，则

由
，即

法二（Ⅱ）

19.解析 ：解：（1）根据题意得：

即：
解得：

（2）由（1）得：

所以：当n为偶数时，其中有
个奇数项，
个偶数项。奇数项的和为：
，偶数项的和为：
。所以

+
。当n为奇数时，n+1为偶数，

=

20. 解析：证明：（1）∵
，

∴
．

又∵
,
是
的中点，

∴
，

∴四边形
是平行四边形，

∴
．

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
．

（2）连结
，四边形
是矩形，

∵
，
⊥底面
，

∴
平面
，
平面
， ∴

∵
，

∴四边形
为菱形，∴
，

又
平面
，
平面
，

∴
平面
．

,作

于
，
平面
平面
，
平面
，
,
平面

,
,

21．解：（Ⅰ）
，
，

在
处的切线与直线
垂直，

（Ⅱ）
的定义域为
，且
．令
，得
． …4分

若
，即
时，
，
在
上为增函数，

；

若
，即
时，
，
在
上为减函数，

；

若
，即
时，由于
时，
；
时，
，所以

综上可知

（Ⅲ）
的定义域为
，且
．

时，
，
在
上单调递减．

令
，得

①若
时，
，在
上
，
单调递增，由于
在
上单调递减，所以不能存在区间
，使得
和
在区间
上具有相同的单调性；……………10分

②若
时，
，在
上
，
单调递减；

在
上
，
单调递增．由于
在
上单调递减，
存在区间
，使得
和
在区间
上均为减函数．

综上，当
时，不能存在区间
，使得
和
在区间
上具有相同的单调性；当
时，存在区间
，使得
和
在区间
上均为减函数．

22解：21. 解：（Ⅰ）由题意
，

解得
,

所求椭圆
的标准方程为
；

（Ⅱ）解法一：

（i）设
，

，消去x，化简得
.

设

的中点
，则

，
，

，
，

即
，

，

设
，得T点坐标（
），

，所以
，线段
的中点在直线
上.

(ii) 当
时，
的中点为
，
.

.

当
时，

，

.

令
.则
.令

则函数
在
上为增函数，

所以
.

所以
的取值范围是
.

解法二：

（i）设