绝密★启用前 试卷类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷二)

数 学(理科)

命题 高贵彩（珠海市二中）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集
，
，
，则
是

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
的实部为
，虚部为2，则
=

A．
B．
C．
D．

3. 下列函数中，在
内有零点且单调递增的是

A．
B．
C．
D．

4．下列命题中，真命题是

A．
B．

C．
D．

5. 设等比数列
的前
项和为
，若
，则下列式子中数值不能确定的是

A．
B．
C．
D．

6. 已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点在

抛物线
的准线上，则双曲线的方程为

A．
B．
C．
D．

7．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

A．18 B．24 C．30 D．36

8.满足条件
的点
构成的平面区域面积为
，满足条件
的

点
构成的平面区域的面积为
,其中
分别表示不大于
的最大整数，例

如: [-0.4]=-1,[1.6]=1,则

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分

必做题(9～13题)

9. 已知平面向量
等于 .

10. 在
的展开式中，
的系数为_____.

11. 已知直线
与函数
的图象相切，则切点坐标为 .

12.一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是一个等边三角形, 则这个几何体的体积为________.

?

?

13. 已知实数
，执行如右图所示的程序框图，则输出的
不小于47的概率

为 __ .

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

如图，在
中，
//
，
//
，

若
，则AB的长为________．

15．（坐标系与参数方程选做题） （第14题）

在直角坐标系
中，曲线
（
为参数）与曲线
（
为参数）

相交于两个点
，则线段
的长为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分l4分）

已知函数

(1)求
的最小正周期；

（2）若
，且
，
，求
.

17．（本小题满分12分）

《保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm.现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点前一位数字为叶）如下：

罗非鱼的汞含量(ppm)

0 1 3 2 1 5 9 8 7 3 2

1 1 2 3 5 4

（l）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；

（2）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据.若从这批鱼中任选3条鱼，记
表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求
的分布列及数学期望
.

18.(本小题满分14分)

已知数列
是各项均不为
的等差数列，公差为
，
为其前
项和，

且满足
，
．数列
满足
，
为数列
的前n项和．

（1）求数列
的通项公式
；

（2）求证：
．

19．(本小题满分14分)

如图，正方形
所在平面与圆
所在平面相交于
，线段
为

圆
的弦，
垂直于圆
所在平面，垂足
是圆
上异于
的点，

，正方形的边长为
，

（1）判断直线
与直线
是否平行，只写出结果，不要求说明理由；

（2）求证：
平面
；

（3）求二面角
的正弦值.

20.（本小题满分12分）

如图，已知椭圆
的左右两焦点分别为
，
是椭圆上一

点，且在
轴上方，
，
，过
三点的圆
截
轴的线段

长为6，过点
做直线
的垂线交直线
于点

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）证明：直线
与椭圆
只有一个交点；

（Ⅲ）若过直线
上任意一点
引圆
的两条切线，

切点分别为
，试探究直线
是否过定点？若过定点，

请求出该定点；否则，请说明理由.

21.（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）若
，判断函数
的奇偶性，并加以证明；

（Ⅱ）若函数
在
上是增函数，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）若存在实数
，使得关于
的方程
有三个不相等的实数根，求实数
的取值范围.

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷二)

数学(理科)参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1．B． 2．A． 3．B．4．D．5．D．6．A． 7．C．8．C．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9．－9． 10．
．11．
． 12．
． 13．
． 14．
． 15．4．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．【答案】(1)
（2）

17．【答案】（l）
（2）

18．【答案】（1）
（2）略

19．【答案】（1）否（2）
（3）

20．【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）

21．【答案】（Ⅰ）奇;（Ⅱ）
;（Ⅲ）