长春市普通高中2015届高三质量监测（四）

数　　学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

1.设全集
，函数
的定义域为
，则
为

A.
B.
C.
D.

2.复数
满足
，
，则

A. 1 B.
C. 2 D.

3. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的
为

A.
的值

B.
的值

C.
的值

D.
的值

4. 5名学生和2名老师排成一排照相，2名老师不在两边且不相邻的概率为

A.
B.
C.
D.

5. 在△
中，角
的对边分别是
，若
，
，则

A.
B.
C.
D.

6. 函数
的大致图象为

A. B. C. D.

7.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

8. 如图,测量河对岸的塔高
时,可以选与塔底
在同一水平面内的两个观测点
与
,测得
,
,
米,并在
测得塔顶
的仰角为
,则塔的高度
为

A.
米 B.
米 C.
米 D.
米

9. 若等差数列
前
项和
有最大值，且
，则当数列
的前
项和
取最大值时，
的值为

A. 11 B. 12 C. 22 D. 23

10. 如图所示，正弦曲线
，余弦曲线
与两直线
，
所围成的阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

11. 已知
是双曲线
的两个焦点，
是
上一点，若
，且
的最小内角为
，则双曲线
的离心率是

A.
B.
C.
D.

12. 已知函数
（
），若
，则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13. 已知函数
与
的图象关于直线
对称，将
的图象向右平移

个单位后与
的图象重合，则
的最小值为__________.

14. 在平面直接坐标系中，若
满足
，则当
取得最大值时，点
的坐标是 __________.

15.给出下列5种说法：

①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；

②标准差越小，样本数据的波动也越小；

③回归分析研究的是两个相关事件的独立性；

④在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；

⑤相关指数
是用来刻画回归效果的，
的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好.

其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）.

16.如图，在三棱锥
中，
与
是全等的等腰三角形，且平面
平面
，
,则该三棱锥的外接球的表面积为________.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和
，
，
（
）.

(1)计算
,
,
, 猜想
的表达式并用数学归纳法证明；

(2)设
，数列的
的前
项和为
，求证：

18.（本小题满分12分）

某城市随机监测一年内100天的空气质量PM2.5的数据API，结果统计如下：

API















天数

6

12

22

30

14

16



 (1) 若将API值低于150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率；

(2) API值对部分生产企业有着重大的影响，假设某企业的日利润
与API值
的函数关系为：
（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天中选出10天，再从这10天中任取3天计算企业利润之和
，求离散型随机变量
的分布列以及数学期望和方差.

19.（本小题满分12分）

在三棱柱
中，
，侧棱
平面
，
为棱
上的动点，
为
的中点，点
在棱
上，且
.

(1) 设
，当
为何值时，
平面
；

(2) 在（1）条件下，求二面角
的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知点
，点
为平面上的动点，过点
作直线
的垂线，垂足为
，且
.

(1) 求动点
的轨迹
的方程；

(2) 设点
的轨迹
与
轴交于点
，点
是轨迹
上异于点
的不同D的两点，且满足
，在
处分别作轨迹
的切线交于点
，求点
的轨迹
的方程；

(3)在（2）的条件下，求证：
为定值

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

(1) 若函数
在区间
上存在极值，求正实数
的取值范围；

(2) 如果当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

(3)求证：

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

如图
是圆
的一条弦，过点
作圆的切线
，作
，与该圆交于点
，若
，
.

(1) 求圆
的半径；

(2) 若点
为
中点，求证
三点共线.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
，以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

(1) 求曲线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

(2) 求曲线
上的任意一点
到曲线
的最小距离，并求出此时点
的坐标.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.

设函数
.

(1) 若不等式
的解集为
，求实数
的值；

(2) 在(1)条件下，若存在实数
，使得
恒成立，求实数
的取值范围.

长春市普通高中2015届高三质量监测（四）

数学(理科)参考答案及评分参考

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)

简答与提示：

1. A【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.

【试题解析】A
，则
．故选A.

2. A【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.

【试题解析】A 根据复数的几何意义，由题意，可将
看作夹角为
的单位向量，从而
，故选A.

3. C【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化.

【试题解析】C 由秦九韶算法，
，故选C.

4. B【命题意图】本小题主要考查排列组合在古典概型中的应用，既对抽象概念进行提问，又贴近生活实际，是数学与生活相联系.

【试题解析】B
，故选B.

5. A【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.

【试题解析】A 由正弦定理得
，
，再由余弦定理可得
，故选A.

6. A【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.

【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除
；又由于当
时，
的增加速度快，故选A.

7. C【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.

【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为
，故选C.

8. D【命题意图】本小题主要考查利用三角函数以及解三角形的知识解决实际问题，对学生的数形结合思想提出一定要求.

【试题解析】D 在
中，由正弦定理得
，在
中，
，故选D.

9. C 【命题意图】本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前
项和的理解，理解了等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.

【试题解析】C 由等差数列的前
项和有最大值，可知
，再由
，知
，从而有