2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）

理科数学试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知全集

?

2、若复数
是纯虚数（
是虚数单位，
是实数），则

3、执行下面的程序框图，那么输出的
等于

42　　
56

72
90

4、设
，
，
，则

　　

5、已知
（
）的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数为

36　　 　
45
55
120

6、已知
为等差数列且公差
，其首项
，且
成等比数列，
为
的前
项和，
，则
的值为(　　)

7、某抛物线的通径与圆
的半径相等，则该抛物线的焦点到其准线的距离为

2
4
6
8

8、某数学教师一个上午有3个班级课，每班一节。如果上午只能排4节课，并且不能连上3节课，则这位教师上午的课表有（ ）种可能的排法

6
8
12
16

9、函数
的一个最高点坐标为（2,2），相邻的对称轴与对称中心之间的距离为2，则
=

1


-1

10、偶函数
在
上单调递减，则
的大小关系是

不能确定

11、
为双曲线
的右焦点，点
在双曲线右支上，
（
）满足

，则双曲线的离心率为

2

12. 定义在R上的函数
，
时，
，令
，
,则 函 数
的零点个数为

6
7
8
9

二填空题：本大题共4小题，每小题5分

13、边长为2的正方形
，对角线的交点为
，则
= .

14．如右图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为 .

15、甲乙两位同学约定早上7点至12点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去。设两人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响，则二人能会面的概率为 .

16、棱长为1的正方体
中，点
分别为
的中点，给出下列结论：

①
⊥

直线
与平面
所成角的正弦值为

⊥

四面体
的体积为

则正确结论的序号为 .

17. （本小题满分12分）

已知
，
的三边
对应的角分别为
，其中
.

(1) 求角
的大小；

（2）当
时，求
面积的最大值.

18. （本小题满分12分）

全国学生的体质健康调研最新数据表明，我国小学生近视眼发病率为22.78％，初中生为55.22％，高中生为70.34％.。影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素。主要原因是环境因素，学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间安排很容易引起近视。除了学习，学生平时日常爱看电视、上、玩电子游戏，不喜欢参加户外体育活动都是造成近视情况日益严重的原因。为了解情况现从哈市某中学随机抽取18名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以

小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：

(1) 求这18名学生视力的平均数（精确到0.1）和中位数；

（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“正常视力”，

①求校医从这18人中随机选取3人，至多有1人是“正常视力”的概率；

②以这18人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记
表示抽

到“正常视力”学生的人数，求
的分布列及数学期望．

19. （本小题满分12分）

如图：四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，平面
⊥底面
，且
.

(1) 求证：
⊥
；

（2）若二面角
的大小为
，求
的值 .

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
，过点
斜率为
的直线交椭圆于点
.直线
交椭圆于另一点
.

（1）当
时是否存在
使得
?

（2）若
，求
的面积的最大值.

21. （本小题满分12分）

已知函数
.

（1）当
时，
，求实数
的取值范围；

（2）证明：
（
）.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）

如图，
是
的高，
是
的外接圆的直径，过点
作圆的切线交
的延长线于点
.

求证：
∽
；

若
，求
的外接圆的半径.

23. （本小题满分10分）

直角坐标系中曲线
的参数方程为
.

（1）求曲线
的直角坐标方程；

（2）经过点
作直线
交曲线
于
两点，若
恰好为线段
的三等分点，求直线
的斜率.

24. （本小题满分10分）

已知
且
.

(1)求
的最大值；

（2）求证：
.

2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）

理科数学答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

A

C

B

A

D

A

C

D

A

C

C





13、 6

14、

15、

16、①③④

17.（1）
……………（1分）

，
……………（3分）

又
……………（4分）

，……………（5分）

……………（6分）

（2）

……………（8分）

又
（当且仅当
时取等号）……………（9分）

面积
……………（10分）

所以
面积的最大值为
……………（12分）

18.（1）由茎叶图这18名学生视力的平均数为

；

……………（2分）

中位数为4.65……………（4分）

（2）①“正常视力”人数为4人，设事件A为至多1人是“正常视力”，

则P(A)=
,故在18人中随机抽3人，

至多1人为“正常视力”的概率为
.……………（6分）

②由题可知
，故
，

……………（8分）

的分布列为：

0

1

2

3



P











……………（10分）

……………（12分）

19.（1）
⊥
，