2015年漳州市普通高中毕业班适应性考试

数学（理科）试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必需将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.

2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

参考公式：

样本数据x1，x2，… ，xn的标准差 锥体体积公式

s=
V=
Sh

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷 （选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合
，i为虚数单位，
，若
，则复数z的共轭复数
的虚部是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．下列命题中，正确的一个是（ ）

A．
B．若
成立的必要不充分条件，则
成立的充分不必要条件

C．
D．若
，则

3．执行右边的程序框图，若输出的S是127，则判断框内应该是( )

A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8

4．将函数
的图象沿x轴向右平移
个单位后，

得到一个偶函数的图象，则
的取值不可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．过抛物线
＝4x的焦点F的直线交抛物
线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为( )

A．
B．
C．
D．2

6．函数
的部分图象为( )

A． B． C． D．

7．点
是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则
的最大值是( )

A．
B．

C．
D．

8．在直角坐标平面上，
, 且
与
在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为( )

A．
B．
C．
或
D．

9．对于一个有限数列
，
的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为

，其中
．若一个99项的数列

（
的蔡查罗和为1000，那么100项数列
的蔡查罗和为( )

A．991 B．992 C．993 D．999

10．设函数
在R上有定义，对于任一给定的正数
，定义函数
，则称函数
为
的“
界函数”若给定函数
，则下列结论不成立的是（ 　）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上。

11．已知函数
，若
，则
．

12．若
，则
= .

13．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高为 ．

（2）若要从分数在［80，100］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在［90，100］之间的概率为 ．

14．定义：曲线C上点到直线
的距离的最小值称为曲线C到
的距离。已知曲线
到直线
的距离等于曲线
到直线
的距离，则实数
。

15．已知函数
的图象在点
处的切线
的斜率为
，直线
交
轴，
轴分别于点
，
，且
，给出以下结论：

①
；②记函数
，则函数
的单调性是先减后增，且最小值为
；

③当
时，
；

④当
时，记数列
的前
项和为
，则
．

其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）设函数
，

(Ⅰ)求
的最大值，并写出使
取最大值时x的集合；

(Ⅱ)已知
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
，
，求a的最小值．

17．（本小题满分13分）翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为
，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为
（
），赌中后可得
万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．

（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为
（单位：万元），若
的概率为
，求
的大小；

（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？

18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA = AB = BC = 2，AD = 1。M是棱SB的中点．（1）求证：AM∥面SCD；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（3）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值。

19．（本小题满分13分）如图所示，在平面直角坐标系
中，设椭圆
，其中
，过椭圆
内一点

的两条直线分别与椭圆交于点
和
，且满足
，
，其中
为正常数． 当点
恰为椭圆的右顶点时，对应的
．（1）求
椭圆
的离心率；（2）求
与
的值；（3）当
变化时，
是否为定值？若是，请求出
此定值；若不是，请说明理由．

20．（本小题满分14分）对于函数
，若
时，恒有
成立，则称函数
是
上 的“
函数”．(Ⅰ)当函数
是定义域上的“
函数”时，求实数
的取值范围；(Ⅱ)若函数
为
上的“
函数”．（ⅰ）试比较
与
的大小（其中
）；（ⅱ）求证：对于任意大于
的实数
，
，
，，
均有
．

21．(Ⅰ)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵
，（1）求
的逆矩阵
；

（2）求矩阵
的特征值
、
和对应的一个特征向量
、
．

(Ⅱ)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数）．

（1）已知在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为
，判断点P与直线
的位置关系；

（2）设点Q是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离的最小值．

(Ⅲ)（不等式选讲）（本小题满分10分）设函数

（1）求不等式
的解集；

（2）若不等式


的解集非空，求实数
的取值范围.

2015年漳州市普通高中毕业班适应性考试

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



D

B

B

C

C

A

B

C

D

B



二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上。）

11．
12．
13．

14．
15．①③④

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

16．（本小题满分13分）设函数
(Ⅰ)求
的最大值，并写出使
取最大值时x的集合； (Ⅱ)已知
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
，求a的最小值．

解：（1）

的最大值为

………………………………………4分

要使
取最大值，

故
的集合为
………6分

（2）由题意，
，即

化简得
……………………………………………………8分

，
，只有
，
………10分

在
中，由余弦定理，
………11分

由
知
，即
，………………………………12分

当
时，
取最小值
…………………………………13分

17.（本小题满分13分）翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为
，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为
（
），赌中后可得
万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．

（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为
（单位：万元），若
的概率为
，求
的大小；

（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？

解：（1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为
，收藏者李先生赌中的概率为
，且两人赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为
（单位：万元）”的事件为
，则事件
的对立事件为“
”．

因为
，所以
，求得
． （4分）

（2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为
，都选择规则乙赌中的次数为
，

则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为
，

选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为
．

由已知可得，
，
，所以
，
，

从而
，
． （8分）

若
，则
，解得
；

若
，则
，解得
；

若
，则
，解得
． （12分）

综上所述，当
时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；

当
时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；

当
时，他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相等．（12分）

18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA = AB = BC = 2，AD = 1。M是棱SB的中点．（1）求证：AM∥面SCD；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（3）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值。

解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

，
，
，
，
，
．

则
．

设平面SCD的法向量是
则
即

令
，则
，于是
．

，
．
AM∥平面SCD．………………………（4分）

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为
．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为
，

则
，即
．

．

∴当
，即
时，
．…………………………………………（13分）

19．（本小题满分13分）如图所示，在平面直角坐标系
中，设椭圆
，其中
，过椭圆
内一点

的两条直线分别与椭圆交于点
和
，且满足
，
，其中
为正常数． 当点
恰为椭圆的右顶点时，对应的
．（1）求
椭圆
的离心率；

（2）求
与
的值；（3）当
变化时，
是否为定值？若是，请求出
此定值；若不是，请说明理由．

解：（1）因为
，所以
，得
，

即
，所以离心率
．--------------3分

（2）因为
，
，所以由
，得
，--------4分

将它代入到椭圆方程中，得
，解得
，

所以
． --------------------------------------------6分

从而
，即
为定值． -------------------------13分

法二：设
，由
，得
，

同理
，---------------------8分

将
坐标代入椭圆方程得
，两式相减得
，

即
， -------------------------------------10分

同理，
，而
，所以
，

所以
，所以
，

即
，所以
为定值． -------------------------------13分

20．（本小题满分14分）对于函数
，若
时，恒有
成立，则称函数
是
上 的“
函数”．(Ⅰ)当函数
是定义域上的“
函数”时，求实数
的取值范围；(Ⅱ)若函数
为
上的“
函数”．（ⅰ）试比较
与
的大小（其中
）；（ⅱ）求证：对于任意大于
的实数
，
，
，，
均有
．

【解析】：(Ⅰ)由
，可得
，因为函数
是
函数，

所以
，即
，因为
，

所以
，即
的取值范围为
． 4分

(Ⅱ)①构造函数
,
，则
，

可得
为
上的增函数， 6分

当
时，
，即
，得

当
时，
，即
，得

当
时，
，即
，得
．9分

②因为
，所以
， 10分

由①可知
,所以
，

整理得
，

同理可得
，…… ,
．

把上面
个不等式同向累加可得
14分

21．(Ⅰ)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵
，（1）求
的逆矩阵
；

（2）求矩阵
的特征值
、
和对应的一个特征向量
、
．

解：（1）
；（2）
，
，
．

(Ⅱ)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数）．

（1）已知在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，