重庆巴蜀中学高2015级高三（下）第三次诊断性考试

数学试题（理科）

考试说明：试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数
的对应点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知全集
，集合
，
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
，
. 若
，则
（ ）

A．
B.
C．
D．

4．重庆一中学有三个年级共430人，其中初一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为（ ）

A． 32 B．36 C．18 D．86

5．一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

6. 下列说法中正确的是 （ ）

A．若命题
有
，则
有
；

B．若
是
的充分不必要条件，则
是
的必要不充分条件；

C．若命题
，则
；

D．方程
有唯一解的充要条件是

7．设等差数列
和等比数列
首项都是1，公差和公比都是2，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

8．如图给出的是求
的值的一个程序框图，如图所示，其中判断框内应填入的条件是( )

A.
B.

C.
D.

9．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，过
作圆
的切线分别交双曲线的左、右两支于点
、
，且
，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
满足
且对于任意实数
都有：
，若
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上。11.根据如下样本数据

3

4

5

6

7





4.0

2.5


0.5

0.5


2.0



得到的回归方程为
.若
,则
的值为

12.已知
是三角形的内角，且
，则

13．要分配甲、乙、丙、丁、戊5名同学去参加三项不同的教学活动,其中活动一和活动二各要2人,活动三要1人,每人只能参加一项活动，且甲,乙两人不能参加同一活动,则一共有___ _种不同的分配方法.

考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

14．过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC与圆交于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝______．

15．在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数，
）.以
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与
所表示的图形的交点的直角坐标是_ ___．

16．已知关于
的不等式
解集为空集，则
的取值范围为

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题共13分）已知函数
，函数
的最大值为2.

(1)求实数
的值；

(2)在
中，角
所对的边是
，.若A为锐角，且满足
，
，
的面积为
，求边长
.

18. （本小题共13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在为“老年人”.

（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；

（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市

民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．

19． （本小题共13分）在四棱锥
中，
，
，
，
，

(1)证明：
；

(2)若二面角
的大小为
，求四棱锥
的体积．

20．(本小题满分12分)已知函数
(
为自然对数的底数)，
。

(1)若
，求函数
在
处的切线方程；

(2) 若
对任意
恒成立，求实数
的取值集合．

21．(本小题满分12 分)已知椭圆
过点
，其焦距为
．

(1)求椭圆
的方程；

(2)已知
分别是椭圆的左右焦点， P 为直线
上一点．直线
与圆
的另外一个交点分别为M 、N 两点，求证：直线MN 恒过一定点．

22. (本小题满分12 分)已知数列
中，
，
。

（1）证明数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（2）证明:
。(注意：
，
)，

重庆巴蜀中学高2015级高三三诊测试答案

一、选择题

DCDCB BBACA

10、提示：交换
的位置，由
两式相减得到

再令
，得：

所以，
时取等

二、填空题

24 4

三、解答题

17解：(1)∵f(x)＝2cos2 x＋2sin xcos x－m＝(cos 2x＋1)＋sin 2x－m

＝2sin＋－m.

∴函数f(x)在2x＋＝时取得最大值，即2＋－m＝2，解得m＝.

(2)∵f(A)＝0，∴2sin＝0，∴sin＝0，由A为锐角，解得A＝.

∵sin B＝3sin C，由正弦定理得b＝3c，①∵△ABC的面积为，

∴S△ABC＝bcsin A＝bcsin ＝，即bc＝3.②由①和②解得b＝3，c＝1.

∵a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝32＋12－2×3×1×cos，∴a＝.

18. （1）平均年龄为：

（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占频率为
，所以该城市20-80年龄段市

民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的概率为
。又题意知，
，

所以
，
，

，

∴随机变量X的分布列如下表：

∴随机变量X的数学期望
.

19,解：(1)证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形得，CE＝＝1，DE＝＝3，所以BE＝DE，从而得∠DBC＝∠BCA＝45°，所以∠BOC＝90°，即AC⊥BD.由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.

(2)解法一　作OH⊥PC于点H，连结DH.由(1)知DO⊥平面PAC，

故DO⊥PC.所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH.

故∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，所以∠DHO＝60°.

在Rt△DOH中，由DO＝，得OH＝.

在Rt△PAC中＝.设PA＝x，可得＝.解得x＝，即AP＝.

解法二　由(1)知AC⊥BD.以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，D(－，0,0)．

由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，－，t)(t＞0)．

设m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，

由＝(－，－2，0)，＝(－，，－t)

知，取y＝1，得m＝.

又平面PAC的一个法向量为n＝(1,0,0)，于是
＝＝＝，

解得t＝，即AP＝.所以

20．解：（1）
，有

，所以斜率为
，所以切线为

（2）求导：
，令
，解得
，所以函数在
递增，
递减，所以在
，取得最小值

故
恒成立，等价于
，即
要成立。

令
，
，所以知
在
递增，
递减。

有
，所以当
时，
，

所以
时，
对任意
恒成立。

所以取值集合
。

21. 解：（1）由题意知，
，左右焦点坐标为

所以
，所以椭圆标准方

22.证明：（1）两边取倒：
，则
，

有
，所以数列
是首项
，公比
等比数列，

所以
，则

（2）欲证原结论，只需证

现先用数学归纳法证：

当
时，左右两边显然相等。

假设
时，

则
时，

由数学归纳法，
式成立

又
，故原命题成立

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org