2015届高三预测金卷（新课标I卷）

理科数学

一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的.

1．已知随机变量
服从正态分布
，
，则

A．0.954 B．0.977 C．0.488 D．0.477

2．对任意复数
，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）

3.已知映射
,其中
，对应法则
，若对实数
，在集合A中不存在元素
使得
，则k的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知函数
，其中
为实数，若
对
恒成立，

且
，则
的单调递增区间是

A．
B．

C．
　 D．

5．如图，已知圆
，四边形
为圆
的内接正方形，
分别为边
的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，
的取值范围是 （ ）

A．
B．

C．
D．

6.在区间
和
上分别取一个数，记为
.则方程
表示焦点在
轴上且离心率小于
的椭圆的概率为B

.

.

.

.

7、一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以
平面为投影面的正视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8、阅读程序框图，若输入m=4，n=6，，则输出a，i分别是（ ）

A．
B．

C．
D．

9、设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为
，

若对任意的
总有
满足

则这样的排列共有（ ）

A．36 B．32 C．28 D．20

10. 过曲线
的左焦点
作曲线
的切线，设切点为M，延长
交曲线
于点N，其中
有一个共同的焦点，若
，则曲线
的离心率为

A.
B.
C.
D.

11、若实数a，b，c，d满足
，

则
的最小值为（B　　）

A．
B．９ C．８ D．2

12．已知函数
，则关于
的方程
有5个不同实数解的充要条件是 （ ）

A．
且
B．
且
C．
且
D．
且

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13已知
的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，其中
，则展开式中常数项是______________.

14.当x，y满足
时，则t=x﹣2y的最小值是　

15.已知
是曲线
的两条互相平行的切线，则
与
的距离的最大值为_____.

16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量
＝λ
＋μ
，则λ＋μ的最小值为___.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.

18.如图，在三棱柱
中，已知
，
，
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）设
(
)，且平面
与
所成的锐二面角的大小为
，试求
的值.

19.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：

降水量X

X<300

300≤X<700

700≤X<900

X≥900



工期延











误天数Y

0

2

6

10



历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3 ,0.7 ,0.9.求：

（Ⅰ）工期延误天数Y的均值与方差；

（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．

20.如图所示，已知过一点
作抛物线
的两条切线，切点分别为
、
；过点
的直线
与抛物线
和线段
分别相交于两点
、
和点
．

（Ⅰ）求直线
的方程；

（Ⅱ）试问：线段
、
、
的长度的倒数是否构成等差数

列？请加以证明．

21.函数
，若曲线
在点
处的切线与直线
垂直（其中
为自然对数的底数）.

（1）若
在
上存在极值，求实数
的取值范围；

（2）求证：当
时，
.

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图所示,已知圆
外有一点
,作圆
的切线
,

为切点,过
的中点
,作割线
,交圆于
、

两点,连接
并延长,交圆
于点
,连接
交圆

于点
,若
.

（1）求证:△
∽△
;

（2）求证:四边形
是平行四边形.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆
的圆心
，半径
．

（Ⅰ）求圆
的极坐标方程；

（Ⅱ）若
，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
交圆

于
两点，求弦长
的取值范围．

２４(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲

⑴ 已知
都是正数，且
，求证：
；

⑵ 已知
都是正数，求证：
.

理科数学答案

一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)

1.A 2. D 3. D 4. C 5. B 6.B

7. A 8. B 9. B 10. Ｄ　 11. Ｃ 12Ｃ.

简答与提示：

1.【知识点】正态曲线的性质的应用

【答案解析】A

2答案：D

5.【知识点】圆的方程；向量在几何中的应用；向量的运算.

【答案解析】B解析：解：因为圆M：（x-3）2+（y-3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2.

,所以B正确.

6依题意知， a > b ， e ＝
<
，即 b >
.如图所示
故所求概率为 P ＝1－
－
＝

7试题分析：根据平行投影的知识可知:该四面体中以
平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.

9如果1不在前左边,则2必须在1的左边(1)23456的次序保存不变,变化1的位置(123456)(213456)(231456)(234156)(234516)(234561)(2)3456次序不变,1和2的次序为21(同时3必须在21的左边）(321456)(324156)(324516)(324561)(342156)(342516)(342561)(345216)(345261)(345621)(3)456次序不变(432156)(432516)(432561)(435216)(435261)(435621)(453216)(453261)(453621)(456321)(4)56次序不变(543216)(543261)(543621)(546321)(564321)(5)6在最左(654321)32种可能注：这题本身也有趣.注意到当只有一个数时,可能排列为1,即2的0次,记2^0当有两个数1和2时,排列为12,或21,为两种,2^1当123时,排列为4＝2^2当数字为4个时,排列为8=2^35个数时,排列为16＝2^46个数时,排列为32＝2^5n个数时,排列为2^n-1

11.【答案解析】B 解析 ：解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，∴b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx-x2，且c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx-x2求导：y′（x）=
-2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=
-2x，解得：x=1或x=-
（舍），把x=1代入y=3lnx-x2，得：y=-1，即切点为（1，-1），切点到直线y=x+2的距离：
=
，

∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8．?故选：B．

【思路点拨】由题设b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx-x2；c-d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）2+（b-d）2的最小值．

13
的展开式的通项公式为： 
，因为第三项与第五项的系数之比为
，所以
解得
所以常数项为第9项，所以展开式中的常数项为

14．



根据题意，首先画可行域，再分析可得t为目标函数纵截距一半的相反数，最后画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）时t有最小值即可．



解：画可行域如图，z为目标函数t=x﹣2y，

可看成是直线t=x﹣2y的纵截距一半的相反数，

画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）点时，t有最小值﹣4，

故答案为：﹣4．





15.【知识点】导数几何意义的应用。

【答案解析】
解析 ：解：设两切点：

，由

的
，两切线方程为：

距离
，所以最大距离为：

16.【知识点】基于正方形的平面向量的线性运算【答案解析】

.以A为坐标原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则

设
，则
，

解得
，所以
.

由于
，当
时，

【思路点拨】建立直角坐标系，把涉及向量分别用坐标表示，通过坐标运算得到关于
的方程组，分别求出
，再把
转化为关于变量
的三角函数.

17．解：（1）由
,得
. --------2分

由于
是正项数列,所以
.--------------------------------------------3分

由
可得当
时，
，两式相减得
，---------------5分

∴数列
是首项为1，公比
的等比数列，
------------------------------------------------------------------7分

（2）∵
------------------------------------------8分

方法一：∴

-----------------------------------------------11分

----------------------------------------------------------------14分

【方法二：∵
-----------------11分

----------------------------

18.解析：（Ⅰ）因为侧面
,

侧面
，故
,在
中,

由余弦定理得：

，

所以
， 故
,所以
,而

，
平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
两两垂直.以
为原点，
所在直线为

轴建立空间直角坐标系.

则
.

所以
,所以
,

则
，
. 设平面