2015年高考预测金卷（湖南卷）

理科数学

选择题：本大题共10题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面上，复数
的对应点所在象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2、设随机变量
服从正态分布N(0,1)，若P(
>1)= p，则P(-1<
<0)=（ ）

A．
B．
C．
D．

3、设0＜x＜ ，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4.函数：
，当
时，下列选项正确的是 ( ) A.
B.
:.]

C.
D.

5阅读右边的程序框图，输出的结果s的值为( )

A．0 B．
C．
D．

6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是
，则正视图中的
的值是( )

A．2 B．
C．
D．3

7.平面内的两个单位向量
，它们的夹角是60°，
与
、
向量的夹角都为
，且|
|=
，若
，则
值为（　 　）

A．2 B．4 C．
D．

8、在平面直角坐标系中，直线
x―y+
=0过不等式组
（
）表示的平面区域，若
，则
的最大值是（ ）

　A．0 B．
C．
D．

9、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为 （ ）

　A．360 B．520 C．600 D．720

10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量
在
=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（　　）

二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。

（一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．曲线C1的参数方程为
（α为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
ρsin（θ+
）=5．设点P，Q分别在曲线C1和C2上运动，则|PQ|的最小值为

12.如右图，
是圆
的切线，切点为点
，直线
与圆
交于
、
两点，
的角平分线交弦
、
于
、
两点，已知
，
，则
的值为 .

13.若存在实数
使
成立，求常数
的取值范围 .

（二）必做题（14—16题）

14．已知全集U=R，集合A={x||x﹣2|＜1}，B={x|y=
}，则A∩B= .

15.设双曲线
的渐近线与抛物线
相切，则该双曲线的离心率为 .

16.已知函数
是R上的偶函数,对于
都有
成立,当
,且
时,都有
,给出下列命题:

①
;

②x=-6是函数
的图象的一条对称轴;

③函数
在
上为增函数;

④方程
在
上有四个解,

其中所有正确命题的序号为____________(把所有正确命题的序号都填上).

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜
）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

x

x1



x2



x3



ωx+φ

0



π



2π



Asin（ωx+φ）

0



0

﹣

0



（1）请求出上表中的x1，x2，x3，并直接写出函数f（x）的解析式；

（2）将f（x）的图象沿x轴向右平移
个单位得到函数g（x），若函数g（x）在x∈[0，m]上的值域为[﹣
，
]，其中m∈（2，4），且此时其图象的最高点和最低点分别为P、Q，求
与
夹角的大小．

18. (本小题满分12分)一场娱乐晚会上有5位歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众A是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众B和C对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.

(1)求观众A选中4号歌手且观众B未选中4号歌手的概率.

(2)X表示4号歌手得到观众A、B、C的票数之和,求X的分布列和数学期望.

19. (本小题满分12分)在直角梯形ABCD中，AD??BC，
,

,如图（1）．把
沿
翻折，使得平面
.

（1）求证：
；

（2）在线段
上是否存在点N，使得
与平面
所成角为
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．

20. (本小题满分13分)学校餐厅每天有500名学生就餐，每星期一有A，B两种套餐可选，每个学生任选一种，其中A是本校的传统套餐，B是从外校引入的套餐．调查资料表明，若在这星期一选A套餐的学生，下星期一会有
的学生改选B套餐；而选B套餐的学生，下周星期一会有
（
）的学生改选A套餐，用
,
分别表示在第
个星期选A套餐的人数和选B套餐的人数．

（I）用
表示
；

（2）若
，且选A套餐的学生人数保持不变，求
；

（3）根据调查，存在一个常数
，使得数列
为等比数列，且
，求
的取值范围．

21.（本小题满分13分）已知椭圆
过点
，且长轴长等于4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线
与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若
的值.

22.（本小题满分13分）

已知函数
，
，
．

（1）求函数
的极值点；

（2）若
在
上为单调函数，求
的取值范围；

（3）设
，若在
上至少存在一个
，使得
成立，求
的取值范围．

理科数学

选择题（每小题5分，共50分）

1、D 2、D 3、B 4、B 5、A 6、C 7、B 8、D 9、C 10、C

填空题（每小题5分，共25分）

11、
12、
13、
14、（1，2] 15、
16、①②④

三、解答题：本大题共六小题，共75分。

17.

与
夹角为

18. (1) 设事件D表示:观众A选中4号歌手且观众B未选中4号歌手。观众A选中4号歌手的概率为
,观众B未选中4号歌手的概率为
。所以P(D) =
.

因此，观众A选中4号歌手且观众B未选中4号歌手的概率为
.

X表示4号歌手得到观众A、B、C的票数之和，则X可取0,1,2,3.观众A选中4号歌手的概率为
,观众B、C选中4号歌手的概率为
。

当观众A、B、C均未选中4号歌手时，这时X=0，P(X = 0) =
.

当观众A、B、C中只有1人选中4号歌手时，这时X=1，P(X = 1) =
.

当观众A、B、C中只有2人选中4号歌手时，这时X=2，P(X = 2) =
.

当观众A、B、C均选中4号歌手时，这时X=3，P(X =3) =
.

X的分布列如下表：

X

0

1

2

3



P












所以，数学期望
.

19.（1）由已知条件可得

．…………………2分

∵平面
，
．

∴
．……………………………………4分

又∵
，∴
．……………………………………5分

（2）假设在线段
上存在点N，使得
与平面
所成角为
．

以点
为原点，
所在的直线为
轴，
所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得

．

∴
．………………6分

设平面
的法向量为
，

则
∴

令
，得平面
的一个法向量为
，

……………………8分

设
，则
，∴
，

又∵平面
的法向量
且直线
与平面
所成角为
，

∴
，……………………………………………10分

可得
，∴
（舍去）．

综上，在线段
上存在点N，使
与平面
所成角为
，此时
．…………12分

20.解：（1）由已知得
，所以
，

得
． 4分

（2）

，

． 8分

（3）

是等比数列，

，得
，

，得
， 11分

，

，

．13分

21．解：（Ⅰ）由题意，椭圆的长轴长
，得
，…………2分

∵点
在椭圆上，∴
得
，…………４分

∴椭圆的方程为
.………………6分

（Ⅱ）由直线l与圆O相切，得
，即
，设
，由
消去y，整理得
………………8分

由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，∴
.

…………10分

∴
………………11分

∵
，∴
.………………１2分

∵
，∴
，
，得k的值为
.…………13分

22.试题分析：(1)因为
.由
得
，

所以
为函数
的极小值点；

（2）

.

在
上为单调函数，则
或
在
上恒成立.

等价于
,所以
.

等价于
，所以
.由此可得
的取值范围.

（3）构造函数
，

在
上至少存在一个
，使得
成立，则只需
在
上的最大值大于0 即可.接下来就利用导数求
在
上的最大值.

当
时，
，所以在
不存在
使得
成立.

当
时，
，因为
，所以
在
恒成立，

故
在
单调递增，
，

所以只需
，解之即得
的取值范围.

试题解析：(1)因为
.由
得
，

所以
为函数
的极小值点……………………………………3分

（2）
，
.

因为
在
上为单调函数，所以
或