2015年高考预测金卷（湖南卷）

文科数学

选择题：本大题共10题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面上，复数
的对应点所在象限是

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2、四名同学根据各自的样本数据研究变量
之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

① y与x负相关且
； ② y与x负相关且
；

③ y与x正相关且
； ④ y与x正相关且
.

其中一定不正确的结论的序号是( ).

A．①② B．②③ C．③④ D． ①④

3．“
”是“函数
在区间[-1，1]上存在零点”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知
是定义在
上的奇函数，且
时
的图像如图1所示，则

A．
B．
C．
D．

5阅读右边的程序框图，输出的结果s的值为

A．0 B．
C．
D．

6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是
，则正视图中

的
的值是

A．2 B．
C．
D．3

7.已知向量
，
，若
，则
的值为（ ）.

A.
B.
C.
D.

8、已知双曲线
与椭圆
的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

9、设圆
的一条切线与
轴、
轴分别交于点
, 则
的最小值为

A、4 B、
C、6 D、8

1 0．形如
的函数因其函数图象类似于汉字中的囧字，故生动地称

为“囧函数”。则当
时的“囧函数”与函数
的交点个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。

11.设全集
，集合
，则
.

12. 在极坐标系中，曲线
的焦点的极坐标 .

13.利用计算机产生
之间的均匀随机数
，则事件“
”发生的概率为________.

14. 已知变量
满足
，则
的最大值为_______.

15.已知函数
是R上的偶函数,对于
都有
成立,当
,且
时,都有
,给出下列命题:

①
;

②x=-6是函数
的图象的一条对称轴;

③函数
在
上为增函数;

④方程
在
上有四个解,其中所有正确命题的序号为____________(把所有正确命题的序号都填上).

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜
）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

x

x1



x2



x3



ωx+φ

0



π



2π



Asin（ωx+φ）

0



0

﹣

0



（Ⅰ）请求出上表中的x1，x2，x3，并直接写出函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移
个单位得到函数g（x），若函数g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4））上的值域为[﹣
，
]，且此时其图象的最高点和最低点分别为P、Q，求
与
夹角θ的大小．

17. （本小题满分12分）某公司销售
、
、
三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计
月份共销售
部手机（具体销售情况见下表）


款手机


款手机


款手机



经济型




[:]





豪华型









已知在销售
部手机中，经济型
款手机销售的频率是
.

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在
、
、
三款手机中抽取
部，求在
款手机中抽取多少部？

（Ⅱ）若
，求
款手机中经济型比豪华型多的概率.

18.（本小题满分12分）在等差数列
中，
，其前n项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为q，且
，
.

（1）求
与
；

（2）设数列
满足
，求
的前n项和
.[:.]19、（本小题满分13分）

如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,
,

∥
,
.

（Ⅰ）求证:
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正切值；

（Ⅲ）在
上找一点
,使得
∥平面ADEF,请确定M点的位置,并给出证明.

20、（本小题满分13分）如图,已知抛物线C：y2=2px和☉M：(x-4)2+y2=1,过抛物线C上一点H(x0,y0)(y0≥1)作两条直线与☉M相切于A,B两点,分别交抛物线于E,F两点,圆心点M到抛物线准线的距离为
.

(1)求抛物线C的方程.

(2)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时,求直线EF的斜率.

(3)若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.

21、（本小题满分13分）

已知函数
在点
的切线方程为
.

（1）求函数
的解析式；

（2）设
，求证：
在
上恒成立；

（3）已知
，求证：
.

文科数学答案

选择题（每小题5分，共50分）

1、C 2、D 3、A 4、B 5、A 6、C 7、B 8、C 9、A 10、C

填空题（每小题5分，共25分）

11、
12、
13、
14、4 15、①②④

三、解答题：本大题共六小题，共75分。

16．

与
夹角为

17.

18.

19、

,
,
.

取

.

设

,

,
,

从而
. …………4分

（2）由(1)可知:

即为CE与面BDE所成的角.

中,
,

. ……8分

（3）取EC中点M,则BM∥面ADEF，证明如下：

连结MB、MP，由（1）知BP∥AD，∴BP∥面ADEF，
M、P分别为EC、DC的中点，
∥
，∴MP∥面ADEF，∴面BMP∥面ADEF，∴BM∥面ADEF. ……………13分

20、【解析】(1)因为点M到抛物线准线的距离为4+
=
,所以p=
,即抛物线C的方程为y2=x.

(2)方法一：因为当∠AHB的角平分线垂直于x轴时,点H(4,2),所以kHE=-kHF.

设E(x1,y1),F(x2,y2),所以
=-
,所以
=-
,

所以y1+y2=-2yH=-4.kEF=
=
=
=-
.

方法二：因为当∠AHB的角平分线垂直于x轴时,点H(4,2),所以∠AHB=60°,可得kHA=
,kHB=-
,所以直线HA的方程为y=
x-4
+2,

联立方程组
得
y2-y-4
+2=0,

因为yE+2=
,所以yE=
,xE=
.同理可得yF=
,xF=
,所以kEF=-
.

(3)方法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),因为kMA=
,所以kHA=
,

可得,直线HA的方程为(4-x1)x-y1y+4x1-15=0,同理,直线HB的方程为(4-x2)x-y2y+4x2-15=0,

所以(4-x1)
-y1y0+4x1-15=0,(4-x2)
-y2y0+4x2-15=0,

所以直线AB的方程为(4-
)x-y0y+4
-15=0,令x=0,可得t=4y0-
(y0≥1),

因为t关于y0的函数在[1,+∞)上单调递增,所以tmin=-11.

方法二：设点H(m2,m)(m≥1),HM2=m4-7m2+16,HA2=m4-7m2+15.

以H为圆心,HA为半径的圆方程为(x-m2)2+(y-m)2=m4-7m2+15,①

☉M的方程为(x-4)2+y2=1.②

①-②得：直线AB的方程为(2x-m2-4)(4-m2)-(2y-m)m=m4-7m2+14.

当x=0时,直线AB在y轴上的截距t=4m-
(m≥1),因为t关于m的函数在[1,+∞)上单调递增,所以tmin=-11.

21、.解：（1）将
代入切线方程得
， ∴
，…………1分

化简得
.
，……………3分
，

解得：
.∴
. …………4分

（2）由已知得
在
上恒成立，

化简
，即
在
上恒成立.…………5分

设
，
， …………6分

∵
∴
，即
，…………7分

∴
在
上单调递增，
，∴
在
上恒成立 .…………9分

（3）∵
， ∴
，由（Ⅱ）知有
， ……12分

整理得
，∴当
时，
. …………13分

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