2015届模拟考试3

------理科数学试题

（满分150分，考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（12′×5=60′）

1.设全集U=｛1,2,3,4,5,6,7｝，M=｛2,3,4,6｝，N=｛1,4,5｝，则｛1,5｝=（ ）

A.M∩N B.M∪N C.(CUM)∩N D.M∩(CUN)

2.如果复数
的实部和虚部互为相反数，则实数b=（ ）

A.-
B.-
C.
D.

3.设a，b∈R，则
的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不必要也不充分条件

4.在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，若asinA+bsinB-csinC=
asinB，则角C=（ ）

A.
B.
C.
D.

5.当a为任意实数时，直线(a
1)x
y+a+1=0恒过定点C，则以点C为圆心，
为半径的圆的方程为（ ）

A.x2+y2
2x
4y=0 B.x2+y2+2x
4y=0 C.x2+y2
2x+4y=0 D.x2+y2+2x+4y=0

6.右图是y=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<
)在区间[-
,
]上的图象为了得到y=sin2x的图象，只需要将此图象（ ）

A.向左平移
个单位 B.向右平移
个单位

C.向左平移
个单位 D.向右平移
个单位

7.如图，AB是半圆O的直径，P是半圆
上的任意一点，M、N是AB上关于O点对称的两点，若|AB|=6，|MN|=4，则
·
=（ ）

A.3 B.5 C.7 D.13

8.如图所示，在正方形OABC中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R恒有f(x)>f′(x)，

a=3f(ln2)，b=2f(ln3)，则有（ ）

A. a>b B. a=b C. a

10.设斜率为
的直线与椭圆
+
=1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.已知数列｛an｝满足an+1=an-an-1(n∈N+且n≥2)，若a1=1，a2=3，Sn=a1+a2+…+an，则下列结论中正确的是（ ）

A.a2015=1, S2015=2 B.a2015=
3, S2015=2 C.a2015=
1, S2015=2 D.a2015=3, S2015=2

12.设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x)，如果在区间(a,b)上恒有f″(x)<0，则称函数f(x)是区间(a,b)上的“凸函数”，若f(x)=
x4

mx3

x2，

当|m|≤2时是区间(a,b)上的凸函数，则b
a的最大值为（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（5′×4=20′）

7

7

8





8

0

2

4



9

1







13.在一次演讲比赛中，6位评委对一位选手打分的茎叶图，如右图所示，若去掉

一个最高分和一个最低分后，得到一组数据xi (i=1,2,3,4)，在如图所示的程序框

图中，
是这四个数的平均数，则输出的V的值为

14.设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为

15.过直线x+y-2
=0上一点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角为60°，则点P的坐标为

16.曲线y=
在点M（π,0）处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(不含三角形边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点，则x+4y的取值范围

为

三、解答题（12′×5+10′=70′）

17.在锐角△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，已知sin(A
B)=cosC.

(1)若a=3
，b=
，求c边长；

(2) 若
=
，求角A、C.

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形

且∠DAB=60°，O为AD中点.

(1)若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；

(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角M—BO—C的大小为60°，如存在，求
的值，如不存在，说明理由.

19.为了保护环境，某市设立了若干个自行车自动租赁点，规定租车时间不超过一小时不收费，一小时以上不超过两小时收费一元，两小时以上，不超过三小时收费两元(不足一小时，按一小时计)，甲、乙两人各租车一辆，甲、乙租车时间不超过一小时的概率为
、
，一小时以上，不超过两小时的概率为
、
，且两人租车时间都不会超过三小时(甲、乙两人租车时间相互独立).

(1)求甲、乙两人所付租车费相等的概率；

(2)设两人租车费用之和为ξ，求ξ的分布列及数学期望.

20.已知圆C的圆心在坐标原点O，且与直线
：x-2y+3
=0相切，点A为圆上一动点，

AM⊥x轴，垂足为M，动点N满足
=

+(1-
)
，设动点N轨迹为曲线C1.

(1)求曲线C1的方程；

(2)直线
与直线
垂直且与曲线C1交于B、D两点，求△OBD面积的最大值.

21.已知函数f(x)=lnx
a(1

) (a∈R).

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最小值为0，求a；

(3)在(2)的条件下，设数列{an}满足a1=1, an+1=f(an)–lnan+2，

记[x]表示不大于x的最大整数 (如[3.1]=3)，

求Sn=[a1]+[a2]+…+[an].

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.

注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.

22.（选修4—1:几何证明选讲）

如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线交BD的延长线于点P交AD的延长线于点E.

(1)求证：AB2=DE·BC；

(2)若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长.

23.（选修4—4:坐标系与参数方程）

在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为
(α为参数)，

M是曲线C1上的动点，P点满足
=2
，P点轨迹为曲线C2.

(1)求C2的参数方程；

(2)在以O点为极点，Ox轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=
与曲线C1、C2异于极点的交点分别为A、B，求|AB|.

24.（选修4—5，:不等式选讲）

(1)证明柯西不等式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2；

(2)若a,b∈R+且a+b=1，用柯西不等式求
+
的最大值.

2015届模拟考试数学3（理）参考答案

一、选择题：(5′×12=60′) CAADB DBBAD BA

二、填空题：(5′×4=20′)

13.20 14.24π 15.(
,
) 16.(0,4)

三、解答题：（12′×5+10′=70′）

17.解：(1)由sin(A-B)=cosC可得sin(A-B)=sin(
-C)

∵△ABC是锐角三角形 ∴A-B=
-C …………………………………….2分

即A-B+C=

∵A+B+C=π ∴B=
……………………………………………………..4分

又∵b2=a2+c2—2accosB a=3
b=

∴c2-6c+8=0 ∴c=2或c=4

当c=2时，b2+c2-a2=-4<0 ∴A为钝角

与已知矛盾 ∴c≠2 ∴c=4 …………………………………………6分

(2)∵B=
∴C=
-A

=
=
sin(A-C)=
sin(2A-
)=

∴sin(2A-
)=

∵A∈(0,
) ∴2A-
∈(-
,
)

∴2A-
=
∴A=
…………………………………………………10分

∴C=
-
=
……………………………………………………………12分

18.解：(1)∵PA=PD O为AD中点 ∴PO⊥AD

又∵ABCD为菱形且∠DAB=60° ∴OB⊥AD

∵PO∩OB=O ∴AD⊥面POB

∵AD
面PAD ∴面POB⊥面PAD …………………………………………6分

(2)∵面PAD⊥面ABCD且面PAD∩面ABCD=AD ∴PO⊥面ABCD

以O为坐标原点，分别以OA、OB、OP为x、y、z轴

建立空间直角坐标系

∴O(0,0,0)、P(0,0,
)、B(0,
,0)、C(-2,
,0)

设
=
(0<λ<1) ∴M(-2λ,
λ,
(1-λ))

∵平面CBO的法向量为n1=(0,0,
)

设平面MOB的法向量为n2=(x,y,z) ………………………………………………10分

∴
取n2=(
,0,
)

∵二面角M—BO—C的大小为60°

∴
=
解得λ=

∴存在M点使二面角M—BO—C等于60°，且
=
…………………………12分

19.解：设甲、乙两人租车时间不超过一小时分别为事件A1，A2

超过一小时，不超过两小时为事件A2，B2

超过二小时，不超过三小时为事件A3，B3

∴P(A1)=
P(A2)=
P(A3)=1-
-
=

P(B1)=
P(B2)=
P(B3)=1-
-
=
………………………………………2分

(1)设两人所付车费相等为事件C

∴P(C)=P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=
………………6分

(2)∵ξ=0,1,2,3,4 ………………………………………………………………………7分

P(ξ=0)=P(A1B1)=

P(ξ=1)=P(A1B2+A2B1)=

P(ξ=2)=P(A1B3+A2B2+A3B1)=

P(ξ=3)=P(A2B3+A3B2)=

P(ξ=4)=P(A3B3)=

∴分布列为

ξ

0

1

2

3

4



P













∴Eξ=1

+2

+3

+4

=
……………………………………………12分

20.解：(1)设动点N(x,y)，A(x0,y0) ∵AM⊥x轴 ∴M(x0,0)

设圆C的方程为x2+y2=r2 由题意得r=
=3∴圆C的方程为x2+y2=9 …………2分

又∵
=

+(1

)

∴
∴
∵x
+y
=9 ∴x2+3y2=9

∴N点的轨迹方程为
+
=1 ………………………………………………………6分

(2)由题意可设直线
的方程2x+y+m=0

得13x2+12mx+3m2-9=0

∵直线和曲线C1交于相异两点，∴Δ=144m2-4×13×(3m2-9)>0 ∴m2<39 ………8分

∴│BD│=
·|x1-x2|=
·
=

又∵O点到直线
的距离为

∴S△OBD=
·
·
=
=
……10分

∵3m2(39-m2)≤

m2+(39-m2)
=
（当且仅当

∴S△OBD≤
=
∴△OBD面积的最大值为
……………………12分

21.解：(1)由已知得f(x)定义域为(0,+∞) …………………………………………………1分

∵f′(x)=

当a≤0时，f′(x)>0 ∴f(x)的增区间是(0,+∞)，无减区间.

当a>0时，x∈(0,a)时，f′(x)<0

x∈(a,+∞)时，f′(x)>0

∴f(x)的单调增区间为(a,+∞)，单调减区间为(0,a) ………………………………4分

(2)由(1)知当a≤0时，f(x)无最小值

当a>0时，f(x)min=f(a)=lna-a+1=0 ∴a=1 ……………………………………6分

(3)∵a=1 ∴f(x)=lnx+
-1 ∴an+1=f(an)-lnan+2=
+1 ………………7分

∵a1=1 ∴a2=2 a3=
a4=

下面证明当n≥3时，an∈(1,2)

1°当n=3时，a3=
∴a3∈(1,2)

2°设
∈(1,2) ∴
<
<1 ∴
∈(1,2)

综合1°，2°可知当n≥3时，
∈(1,2) …………………………………………10分

∴[a1]=1 [a2]=2 [a3]=[a4]=…=[an]=1 ∴
..……………12分

注意：以下三题只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.

22.解：(1)∵AD∥BC ∴AB=CD ∴AB=CD，∠EDC=∠DCB

又∵CP是⊙O的切线 ∴∠ECD=∠DBC

∴△CDE∽△BCD ∴
=