闸北区2014学年度第二学期高三数学（文科）期中练习卷

考生注意：

1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．

2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．

3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每

个空格填对得6分，否则一律得零分．

设幂函数
的图像经过点
，则函数
的奇偶性为____________．

已知实数
满足
如果目标函数
的最小值为
，则实数等于____________．

直线
与曲线
有四个交点，则实数的取值范围是____________．

已知定义域为的函数
的图像关于点
对称，
是
的反函数，若
，则
____________．

设
数列
的前项和为
，则
___________．

设复数
，在复平面的对应的向量分别为
，则向量
对应的复数所对应的点的坐标为____________．

若二项式
展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．

观察下表： 1

2 3 4

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8 9 10

…………

设第行的各数之和为
，则

从双曲线
的左焦点引圆
的切线，切点为，延长
交双曲线右支于点，若
是线段
的中点，
为原点，则
的值是____________．

已知集合
，
，
，现给出下列函数：①
；②
；③
；④
．若
时，恒有
，则所有满足条件的函数
的编号是____________．

二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确

的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

下列命题中，正确的个数是……………………………………………………………【 】

直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；

a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；

直四棱柱是直平行六面体；

两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥.

A、0 B、1 C、2 D、3

已知函数
，若
，
，则必有…………………【 】

A、
B、

C、
D、
的符号不能确定

如图，下列四个几何题中，它们的三视图（主视图、俯视图、侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是…………………………………………………………【 】

A、（1）、（2） B、（1）、（3） C、（2）、（3） D、（1）、（4）

（1）棱长为2的正方体 （2）底面直径和高均为2的圆柱

（3）底面直径和高均为2的圆锥 （4）底面边长为2高为2的直平行六面体

三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）

如图，
是圆柱体
的一条母线，已知
过底面圆的圆心
，

是圆
上不与点
重合的任意一点，
，
，
．

（1）求直线
与直线
所成角的大小；

（2）将四面体
绕母线
旋转一周，求
的三边在旋

转过程中所围成的几何体的体积．

（本题满分14分，第（1）、（2）小题各3分；第（3）、（4）小题各4分）

请你指出函数

的基本性质（不必证明），并判断以下四个命题的正确性，必要时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明．

当
时，等式
恒成立；

若
，则一定有
；

若
，方程
有两个不相等的实数解；

函数
在上有三个零点．

（本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题9分）

如图所示，某市拟在长为
道路
的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段
，该曲线段为函数

的图像，且图像的最高点为
，赛道的后一部分为折线段
，且
．

（1）求
、两点间的直线距离；

（2）求折线段赛道
长度的最大值．

（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）

已知圆
，点
，点
在圆
上运动，
的垂直平分线交
于点．

（1）求动点的轨迹
方程；

（2）过点
且斜率为
的动直线
交曲线
于
两点，在轴上是否存在定点，使以
为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

我们把一系列向量
按次序排成一列，称之为向量列，记作
，已知向量列
满足：
，

．

（1）证明：数列
是等比数列；

（2）设
表示向量
与
间的夹角，若
，
，求
；

（3）设
，问数列
中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

文科答案

填空题

1、偶函数； 2、5 3、
4、
5、

6、
7、
8、4 9、
10、①②④

选择题

11、B 12、A 13、A、C

三．解答题

14、（1）
……………………………………………………5分

（2）
………………………………………………………………7分

15、由
，参考图像：

（1）对于任意的
，
，

故
恒成立；

（2）由于
为单调递增函数，故如果
，则
恒成立，因此
，一定有
；

（3）由图像可知当
时，
与
无公共点，方程
无实数根，故结论（3）不正确；

（4）
，若
，则只有
，故结论（4）不正确.

16、

解法一：（1）依题意，有
……………………………………………1分

又
， 而
，
……………………………1分

当
时，
，
，又

………………………………………3分

（2）在
中，
，
.

设
，则
. ……………………………………1分

由正弦定理得
，
，
， ……………………………………………………3分

故
……3分

，当
时，折线段赛道
最长. ……………………2分

解法二 ：（1）同解法一.

（2）在
中，
，

由余弦定理得
，

即
； …………………………3分

故
，从而
…4分

即
，当且仅当
时等号成立. ………………2分

亦即，设计为
时，折线段赛道
最长.

注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①
；②
；③点
在线段
的垂直平分线上等.

17、（1）
的垂直平分线交
于点，
. ………………1分

，

所以动点的轨迹
是以点
、
为焦点的椭圆. …………………………2分

设椭圆的标准方程为

，则
，
，
，故

椭圆的标准方程为
…………………………………………………………2分

直线l的方程为
，联立直线和椭圆的方程得
，即

，易知点
在椭圆内部，所以直线l与椭圆必交于两点.

……………………………………1分

设
，则
，……………………2分

假设在y轴上存在定点
满足题设，则
. 因为以AB为直径的圆恒过点D，则
. ……………………2分

即
，因为
，

所以(*)变为

. ………3分

由假设得对于任意的
，
恒成立，即
，解得
. 因此，在y轴上存在点D，点D的坐标为
………………………………………………3分

18、（1）
………4分

（2）
，
……………………………………………2分

………………………………………………2分

…………2分

或
都算对

(3)
，

……………………………………………………2分

假设
中的第项最小，由
，
，

当
时，有
，又由
可得
，

即
，
.

，
或
（舍），
. …………2分

即有
；

由
，得