哈尔滨市第六中学2015届高三第四次模拟考试

数学试卷（理工类）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集
，设集合
，集合
则
=（ ）

2.已知复数
，则复数
在复平面内对应的点为（ ）

3. 若
，且
，
，
，则
大小关系为（ ）

4.下列说法正确的是 （ ）

命题“若
，则
”的否命题为真命题

“直线
与直线
互相垂直”的充分条件是“
”

命题“
”的否定是“
”

命题：若
，则
或
的逆否命题为：若
或
，则

5. 设
为随机变量，若

,当
时，

的值为（ ）

3
5
7
9

6. 执行如图所示的程序框图，若输出
，则框图中①处可以填入（ ）

7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )

12
4

8.将函数
的图象向右平移
个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是 （ ）

9. 设
，若
三点共线，则
的最小值是（ ）

10. 已知数列
为等比数列，且
，则
的值为( )

11．如图，
、
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线
与双曲线的左右两支分别交于点
、
.若
为等边三角形，则双曲线的离心率为( )

4

12. 定义在
上的函数
满足下列两个条件：（1）对任意的
恒有
成立；（2）当
时，
．记函数

，若函数
恰有两个零点，则实数
的取值范围是（ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为
，体积为
，则这个球的表面积为

14．已知
均为单位向量，且它们的夹角为60°，当
取最小值时，

15．在平面直角坐标系中，实数
满足
，若
，则
的取值范围是

16.若关于
的函数
的最大值为
，最小值为
，且
，则实数
的值为

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 数列
满足：

（1）记
，求证数列
是等比数列

（2）求数列
的通项公式；

18.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，

（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

19. 如图，斜三棱柱
的底面是直角三角形，
,点
在底面内的射影恰好是
的中点，且
.

(1)求证:平面

平面
;

(2)若二面角
的余弦值为
,

求斜三棱柱
的侧棱
的长度.

20. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在
轴上，它的一个顶点为
（0，
），且离心率等于
，过点
（0，2）的直线
与椭圆相交于
，
不同两点，点
在线段
上．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设
，试求
的取值范围．

21. 设函数
，其中
。

（Ⅰ）当
时，判断函数
在定义域上的单调性；

（Ⅱ）当
时，求函数
的极值点

（Ⅲ）证明对任意的正整数
，不等式
都成立。

考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.选修4－1：几何证明选讲

如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，

过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆

的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC

相交于点P.

(1)求证:AD∥EC;

(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长;

23.选修4－4：极坐标与参数方程

已知曲线C的极坐标方程 是
=1，以极点为原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
为参数）。

（1）写出直线
与曲线C的直角坐标方程；

（2）设曲线C经过伸缩变换
得到曲线
，设曲线
上任一点为
，求
的最小值。

24.选修4—5：不等式选讲

已知
为正实数，且满足

（1）求
的最小值

（2）求证：

理科数学答案：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

C

A

B

D

C

B

D

A

C

B

D



13、
14、
15、
16、1

17、（1）
（2）

18.解：（1）设事件
为“两手所取的球不同色”， 则

依题意，
的可能取值为0,1,2．

左手所取的两球颜色相同的概率为

右手所取的两球颜色相同的概率为

Ｘ

0

1

2



Ｐ









所以Ｘ的分布列为：

19. 解:（本小题满分12分）

(1)取
中点
，连接
，则
面
，

，

（2）以
为
轴,
为
轴,过点
与面
垂直方向为
轴，建立空间直角坐标系……5分

，设
则

即

设面
法向量

；面
法向量

20 、解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

因为它的一个顶点为
（0，
），所以
，由离心率等于
，得

，解得
，所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）设
，
，
，若直线
与
轴重合，则
，得
，得
；

若直线
与
轴不重合，则设直线
的方程为
，与椭圆方程联立消去
得
，得
①，
②，

由
得
，整理得
，将①②代入得
，又点
在直线
上，所以
，

于是有
，因此
，由
得

，所以
，综上所述，有