甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三级第四次模拟考试

文科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己姓名、考试号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时间，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第 Ⅰ 卷

一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合
，
，则
=（ ）

A．{
} B．{
} C．{
} D．{
}

2．已知复数
，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 在约束条件
下，目标函数
的最大值为(　　)

A．
B．
C．
D．

4．命题“
使得
”的否定是

A．
,均有
　　B．
,均有

C．
使得
　　 D．
,均有

5．已知等差数列
满足
且
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

6．在区间
上随机取一个数
，则事件“
”发生的概率为 ( )

A．
B．
C．
D．

7．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

外接球的表面积等于

A．
B．
C．
D．

8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是

63，则判断框中的整数
的值是

A．5 B．6 C．7 D．8

9．已知函数
，若存在满足

的实数
，使得曲线
在点

处的切线与直线
垂

直，则实数
的取值范围是（三分之一前有

一个负号） A．
B．

C．
D．

10．若直线
被圆
截得的弦长为4，则
的最小值是

A．
　　　　　B．－
　　　　　C．－2　　　　　D．4

11．设不等式组
表示的区域为
，不等式
表示的平面区域为
．若
与
有且只有一个公共点，则
等于

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
在
上有两个零点，则实数
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每题5分。

13．若
，则
= ．

14．有一底面半径为l，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 .

15．已知实数x，y满足不等式组
，若目标函数
仅在点(1，k)处取得最小值，则实数k的取值范围是 ．

16．已知点A(
，
)在抛物线C：y2=2px(p>0)的准线上，点M、N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若
=3，则点A到动直线MN的最大距离为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）已知
，且
，求
的值．

18．（本小题满分
分）

为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家鼓励消费者购买新能源汽车。某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了
辆纯电动乘用车，根据其续驶里程
（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：

分组

频数

频率





10







30













合计







（Ⅰ）求
，
，
，
的值；

（Ⅱ）若用分层抽样的方法从这
辆纯电动乘用车中抽取一个容量为6的样本，从该样本中任选
辆，求选到的
辆车续驶里程为
的概率。

19．（本小题满分
分）

如图，直三棱柱
中，
，
，
是
的中点，△
是等腰三角形，
为
的中点，
为
上一点且
。

（Ⅰ）证明：
∥平面
；

（Ⅱ）若
，求三棱锥
的体积。.

20．（本小题满分
分）

已知椭圆
的离心率为
，短轴一个端点到上焦点的距离为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
作直线
与椭圆
相交于
两点，直线
是过点
且与
轴平行的直线，设
是直线
上一动点，满足
(
为坐标原点). 问是否存在这样的直线
，使得四边形
为矩形？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）试问过点
可作多少条直线与曲线
相切?请说明理由

四、选做题（本小题满分10分，请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．

如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，

AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

（1）证明：∠D＝∠E;

（2）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，

且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴。已知曲线C1的极坐标方程为
，曲线C2的极坐标方程为
，射线
与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D.[:]

（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（2）求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.

24.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知函数
．

(I)若不等式
的解集为
，求实数a的值；

(II)在(I)的条件下，若存在实数
使
成立，求实数
的取值范围．

文科数学答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

B

 D

 C

D

A

C

D

C

B





二、填空题：

13．
　　14．
　　15．
　　　16．

17．解：（Ⅰ）

＝
．

所以最小正周期为：

由
，得
．

∴函数
的单调增区间为
． ……6分

（Ⅱ）由
，得
．∴
．

∵
，∴
，
，

∴
．……12分

18．解：（Ⅰ） 由表格可知
，所以
，
，
，

. ………4分

（Ⅱ）设“从这6辆纯电动车中任选
辆，选到的
辆车续驶里程为
”

为事件
，

由分层抽样得在
中抽1辆，记为A ，在
中抽3辆，记为B1，B2，B3 ，在
中抽2辆，记为C1，C2 ， ……6分

则任取两辆共有15种取法(A, B1)(A, B2)(A, B3) (A, C1)(A, C2) (B1, B2)( B1, B3) ( B2, B3) (B1, C1)( B1, C2) ( B2, C1) ( B2, C2) (B3, C1) (B3 , C2) (C1 , C2)

事件
有3种情况

则
. ……12分

19．解析:( Ⅰ) 取
中点为
，连结
，

∵
分别为
中点

∴
∥
∥
，

∴
四点共面， ………3分

∵
,
中点为
,

∴
是
中点,又
为
的中点，

∴
,又

∥平面
………6分

（Ⅱ）因为三棱柱
为直三棱柱，∴
平面
，
，

∴
，∵
，
，

∴
平面
, ∴
平面
,

∵
∥平面
,

所以三棱锥
的体积为
………12分

20．解：（Ⅰ）由已知得
；

（Ⅱ）由已知可得直线
，设

设直线
，
[:.]

，

此时
,所以存在
使得四边形
为矩形.

21．解：(Ⅰ)

①若
,则
,
在
上单调递增;

②若
,当
时,
,函数
在区间
上单调递减,

当
时,
,函数
在区间
上单调递增, ………5分

(Ⅱ) 设过点
的直线与曲线
相切与点（
），
，

………9分

令
，由(Ⅰ)得
时，
在
上单调递减,
上单调递增，

，

所以
与
轴有两个交点，所以过点
可作2条直线与曲线
相切。………12分

四、选做题（本小题满分10分，请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠D=∠CBE，

∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；

（2）设BC的中点为N，连接MN，

则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，

∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，

∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形

23．解：（1）
：
，-------------------2分

：
，-----------------------------------4分

因为曲线
关于曲线
对称，
，
：
------5分

（2）
；

，

-----------------------8分

-----------------------10分

24.解：（Ⅰ）由
得
，∴
，即
，

∴
，∴
。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
,令
，

则，

∴
的最小值为4，故实数
的取值范围是
。

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org