2015届高三预测金卷（海南卷）

数学理

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 合
（其中i为虚数单位），
，且
，则实数
的值为

（ ）

A.3 B. 1 C. 2 D.

2.正弦曲线
在点
的切线方程是（ ）

A.
B.

C.
D.

3.若向量
,又
的夹角为锐角,则实数
的取值范围为( )

A.
B.
C.
D.

4.在平面直角坐标系
中，双曲线中心在原点，焦点在
轴上，离心率为
，则其渐进线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

5.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）

A.4 B.2

C.
D.

6. 已知
表示平面，
表示直线，给出下列四个命题：

①若
∥
，
则
∥
②若
，则

③若

∥
，则
∥
④
∥
，
∥
，
，则

其中错误的命题个数为（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.已知直线
与圆
交于
、
两点，
是坐标原点，向量
、
满足条件
，则实数
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.现有下列命题:①命题“
”的否定是“
”；②若
，
，则
；③直线
与
互相垂直的条件为
；④如果抛物线
的准线方程为
，则
.其中正确的命题的序号为（ ）

A.②④ B.①② C.③④ D.②③

9.已知递增数列
各项均是正整数，且满足
，则
的值为（ ）

A.2 B.6 C. 8 D.9

10.设函数
(
,给出以下四个论断： ①它的图象关于直线
对称；②它的图象关于点（
对称；③它的周期是
；④在区间
上是增函数.以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（ ）

A.①③
②④或②③
①④ B.①③
②④ C. ②③
①④ D.①④
②③

11.江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设
是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为
，则当这三种门票的张数分别为（ ）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大.

A.1、0.、0.8 B.0.6、0.8、1 C. 0.6、1、0.8 D.0.6、0.6、0.8

12. “已知关于
的不等式
的解集为
，解关于
的不等式
.”给出如下的一种解法：

参考上述解法：若关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、（本大题共4小题，每小题5分）

13. 阅读如图的程序框图，如果输出的函数值在区间
内，则输入的实数
的取值范围是 .

14. 已知
是不等式组
表示的平面区域，
是不等式组
表示的平面区域，若向区域
上随机投一点
，则点
落入区域
的概率为_________.

15.抛物线
与直线
围成的平面图形的面积为 .

16.下述数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现 次.

2

3

4

5

6

7

…



3

5

7

9

11

13

…



4

7

10

13

16

19

…



5

9

13

17

21

25

…



6

11

16

21

26

31

…



7

13

19

25

31

37

…



…

…

…

…

…

…

…



三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟.根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

API

0～50

51～200

101～150

151～200

201～250

251～300

>300



级别

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ1

Ⅲ2

Ⅳ1

Ⅳ2

Ⅴ



状况

优

良

轻微污染

轻度污染

中度污染

中度重污染

重度污染



某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间
，
，
，
，
进行分组，得到频率分布直方图如下图：

（1）求直方图中
的值；

（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；

（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率.

18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
是矩形，
，
，
，点
是
的中点，点
在
上移动.

（1）求三棱锥
的体积；

（2）当点
为
的中点时，试判断
与平面
的关系，并说明理由；

（3）求证：
.

19.（本小题满分12分）

设椭圆
的上顶点为
，椭圆
上两点
在
轴上的射影分别为左焦点
和右焦点
，直线
的斜率为
，过点
且与
垂直的直线与
轴交于点
，
的外接圆为圆
．

（1）求椭圆的离心率；

（2）直线
与圆
相交于
两点，且
，求椭圆方程；

（3）设点
在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于
，求椭圆C的短轴长的取值范围．

20.已知各项均为正数的等差数列
的公差d不等于0，设
是公比为q的等比数列
的前三项，

（1）若
，

（i）求数列
的前
项和
；

（ii）将数列
和
的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列
，设其前
项和为
，求
的值

（2）若存在

使得
成等比数列，求证：
为奇数.

21.（本小题满分12分）设函数
（
），
．

（1）若函数
图象上的点到直线
距离的最小值为
，求
的值；

（2）关于
的不等式
的解集中的整数恰有3个，求实数
的取值范围；

（3）对于函数
与
定义域上的任意实数
，若存在常数
，使得
和

都成立，则称直线
为函数
与
的“分界线”．设
，
，

试探究
与
是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题给分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，已知
与⊙
相切，
为切点，
为割线，弦
，
相交于
点，
为
上一点，且
.

（1）求证：
；

（2）求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
，曲线
，
相交于
，
两

点.

（1）把曲线
，
的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）求弦
的长度.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（１）当
时，求函数
的定义域；

（２）若函数
的定义域为
，试求
的取值范围．

理科数学答案

一、选择题

1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C 7. C 8.A 9.C 10.A 11.C 12.B

解析：

1.
，则
中的复数必须为实数，所以
.

2
,则
,即切线方程为
,整理得
.故选B.

3.
,则
,又
不共线,所以
,则
且
,所以实数
的取值范围为
.故选A.

4.因为
，所以
，而焦点在
轴上的双曲线的渐进线方程为
，所以该双曲线的渐进线方程为
.故选B.

5.由三角形的边长全为2，即底面三角形的高为
，所以左视图的面积为
.故选C.

6.只有③是正确的.①若
∥
，
则
∥
或异面； ②若
，则
或相交或异面；④
∥
，
∥
，
，则
或

∥
.所以只有一个正确的，故选C.故选C.

7.由
两边平方，得
，所以
，则
为等腰直角三角形，而圆
的半径
，则原点
到直线的
的距离为1，所以
，即
的值为
或
.

8.①命题的否定为：“
”；②
；③由
，得
或
；④抛物线的标准方程为
，由准线方程为
，可得
，即
.故选A.

9. 若
，则
，与
矛盾，若
，则
，而