2015年华南师大附中高三综合测试

数学（理科）

2015.5

本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

第一部分 选择题（40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设
为虚数单位,若复数
是纯虚数,则实数
：

A．2 B．
或2 C．
或
D．

2．已知命题p：?(∈R，cos ((－() = cos (；命题q: ?x∈R，x 2 + 1 > 0. 则下面结论正确的是：A. p∨q是真命题 B. p∧q是假命题

C. ? q是真命题 D. p 是假命题

3．若 x、y 满足约束条件  且向量 a = (3,2)，b = (x,y)，则 a·b 的取值范围是：A. [,4] B. [,5] C. [,5] D. [,4]

同时具有性质“①最小正周期是
，②图象关于直线
对称；③在
上是增函数”的一个函数是：

A．
B．

D．

函数f(x)＝|log2(x＋1)| 的图象大致是：

6. 已知点 F 是抛物线 y 2 = 4x的焦点，M、N 是该抛物线上两点，| MF | + | NF | = 6，则 MN中点的横坐标为：A.  B. 2 C.  D. 3

7. 设函数
在R上有定义，对于任一给定的正数
，定义函数
，则称函数
为
的“
界函数”若给定函数
，则下列结论不成立的是：

A.
B.

C.
D.

8. 若直角坐标平面内两相异点A、B两点满足：① 点A、B都在函数 f (x) 的图象上；② 点A、B关于原点对称，则点对 (A，B) 是函数 f (x) 的一个“姊妹点对”. 点对 (A，B) 与 (B，A) 可看作是同一个“姊妹点对”. 已知函数 f (x) = ，则 f (x) 的“姊妹点对”有：A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

第二部分 非选择题（110分）

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9. 不等式
的解集为 *** .

10.
的展开式的常数项是 *** （用数字作答）.

图一是一个算法的流程图，则最后输出的S是 *** ．



12．某三棱锥的三视图如图二所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 *** .

13. 数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有 *** 个.

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14 . （坐标系与参数方程选做题）设曲线
的参数方程为
(
是参数，
)，直线
的极坐标方程为
，若曲线
与直线
只有一个公共点，则实数
的值是 *** ．

15. （几何证明选做题）如图，⊙O上一点
在直径
上的

射影为
，且
，
，则⊙O的半径等于*** .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本题满分12分）已知
分别是
的角
所对的边，且
，
。

(Ⅰ) 若
的面积等于
，求
;

(Ⅱ) 若
，求
的值．

17．（本题满分12分）在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设
分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数.

(Ⅰ) 求
依次成公差大于0的等差数列的概率；

(Ⅱ)求随机变量z的概率分布列和数学期望.

18．（本题满分14分）如图，已知斜三棱柱
,

,
,
在底面
上的射影恰为
的中点
, 又知
．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求
到平面
的距离；

(Ⅲ) 求二面角
的平面角的余弦值．

19．（本题满分14分）设数列{an}的各项都是正数，记Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，都有
．

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ) 若
（
为常数且
，n∈N*），问是否存在整数
，使得对任意 n∈N*，都有bn+1>bn．

20．（本题满分14分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：
的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：
相切于点Q。

（Ⅰ）当直线PQ的方程为
时，求

抛物线C1的方程；

（Ⅱ）当正数
变化时，记S1 ，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求
的最小值．

21．（本题满分14分）已知函数
和
．

（Ⅰ）m=1时，求方程f (x) = g(x)的实根；

（Ⅱ）若对于任意的
恒成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）求证：
．

2015年华南师大附中高三综合测试

数学（理科）答案

一、选择题：DACD ABBC

二、填空题：9. (-∞,-1)∪(0,+∞) 10. 60 11. －9 12.  13. 23 14. 7 15. 5

三、解答题：

16．解：（I）根据三角形面积公式可知：
推得
；

又根据三角形余弦公式可知：
推得
。

综上可得
。 ………………………………4分

（Ⅱ）
,

………………………………6分

当
时，
………………………………7分

当
时，
,由余弦定理得
，

联立
，得
………………………………10分

，
，

综上
或
。 ………………………………12分

解二：
,

………………………………6分

当
时，
………………………………7分

当
时，
,

综上
或
。 ………………………………12分

17．解：（I）依题意，掷一次骰子，掷出1点的概率为
, 掷出2点或3点的概率为
，掷出4点或5点或6点的概率为
；…………2分

记事件A=“
依次成公差大于0的等差数列”，则x=0,y=1,z=2；即甲、乙、丙三盒中分别放进0、1、2个球. …………4分

P（A）=
；…………6分

（II）z的取值为0，1，2，3，…………7分

而
，

；

…………10分

随机变量z的概率分布列

z

0

1

2

3















 数学期望为
.--------------------12分

18．解法
：(Ⅰ)∵
平面
,∴平面
平面
,

又
,∴
平面
, 得
,又
,
，

∴
平面
.…………………4分

(Ⅱ)∵
平面
，∴
,

∴四边形
为菱形,故
,

又
为
中点,知∴
.即△ACA1为等边三角形，

取
中点
,则CF⊥AA1,

由(1)可知
平面
,∴BC⊥AA1, CF∩BC=C，

∴
平面
,AA1
平面A1AB，从而面
面
,…………6分

过
作
于
,则
面
,

在
中,
,则BF=
，由面积法可得
,

即
到平面
的距离为
.…………………9分

（用体积转移法同样给分）

(Ⅲ)过
作
于
,连
,则
,

从而
为二面角
的平面角,

在
中,
,∴
,…………10分

在
中,CH=
,
则HG=
，cos∠CGH=

故二面角
的余弦值为
. …………………14分

解法
：(Ⅰ)如图,取
的中点
,则
,∵
,∴
,

又
平面
,以
为
轴建立空间坐标系, ……1分

则
,
,
,
,
,
,

,
,由
,知
,

又
,
，从而
平面
.……4分

(Ⅱ)由
,得
.设平面
的法向量

为
,
,
,
,

设
,则
. …………6分

∴点
到平面
的距离
.…………………9分

(Ⅲ)设面
的法向量为
,
,
,

∴
.…………10分

设z= -1,则
, 设二面角
的平面角为θ，则

，

可知二面角
的余弦值为
.…………………14分

19．解：（I）在已知式中，当n=1时，

∵a1>0 ∴a1=1………………………………………………………………1分

当n≥2时，
①

②

①－②得，

∵an>0 ∴
=
=2Sn－an

∵a1=1适合上式…………………………3分.

当n≥2时，
=2Sn－1－an－1 ④

③－④得
－
=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+ an－1

∵an+an－1>0 ∴an－an－1=1

∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n………………6分

（Ⅱ）∵

∴
⑤………………………………………………………….8分

当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为
⑥

依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………………………10分

当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为
⑦

依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，

∴
……………………………………………………………………12分

∴

∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1>bn………………………14分

20．解：（Ⅰ）设点
，由
得，
，求导
， ……2分

因为直线PQ的斜率为1，所以
且
，解得
，

所以抛物线C1 的方程为
。 …………… 5分

或：将直线代入抛物线由?=0解出p同样给分。

（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：
，即
，…… 6分

根据切线又与圆切，得
，即
，化简得
， 　……7分

由
，得
，

由方程组
，解得
， 　……………9分

所以
，

点
到切线PQ的距离是
，

所以
，

， 　……………12分

所以

，

当且仅当
时取“＝”号，即
，此时，
，所以
的最小值为
。……………14分

21．解：（Ⅰ）m=1时，

而x > 0，所以方程即为
………………1分

令
，则
，

而h(1)=0，故方程f(x)=g(x)有惟一的实根x=1. ………………4分

（Ⅱ）
，

设
，即

…………………………………………6分

①若
，则
，
，这与题设
矛盾…7分

②若
，方程
的判别式
，

当
，即
时，
，

∴
在
上单调递减，

∴
，即不等式成立…………………………………………………8分

当
时，方程
有两正实根，设两根为
，

当
单调递增，
与题设矛盾，

综上所述，
。

所以，实数m的取值范围是
-------------10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
时，
成立．

不妨令
，

所以
，

……………………………………11分

…………………………………………12分

累加可得

．

取n=1007，即得
……………………………………14分

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