2015年综合测试（三）

数 学（文科）

2015.5

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.

第一部分 选择题（共50分）

选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．设
为虚数单位,若复数
是纯虚数,则实数
(***)

A．
B．
或2 C．-
或4 D．2

2．已知命题
;命题
.则下面结论正确的是

(***)

A．?q是真命题 B．p 是假命题 C．p∧q是假命题 D．p∨q是真命题

3. 设{
} 是公差为正数的等差数列，若
，且
，则
等于(***)

A．120 B． 105 C． 90 D．75

4．函数
的图象大致是(***)

5. 如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为 3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为(***)

A． B． C． D．

6. 某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是(***)

A．2 B． C． D．1

7．若
满足约束条件
,且向量
，
，则
的取值范围是(***) A．
B．
C．
D．

8．同时具有性质“①最小正周期是
；②图象关于直线
对称；③在
上是增函数”的一个函数是(***)

A．
B．
C．
D．

9. 已知双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且双曲线的离心率等于
，则双曲线的方程为(***)

A．
B．
5 C．
D．

10. 称d（

=
为两个向量

间距离，若

满足①
； ②

；

③ 对任意实数t，恒有d（
t

d（

，则(***)

A．（

）
（

） B .

（

） C .


D .

（

）

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）

（一）必做题（11～13题）

11. 函数
在
处的切线方程是

*** .

12. 右图是一个算法的流程图，则最后输出的 *** ．

13. 由直线
上的一点向圆
引切线，则切线长的最小值为 *** ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题.）

14. （坐标系与参数方程选做题）设曲线
的参数方程为
(
是参数，
)，直线
的极坐标方程为
，若曲线
与直线
只有一个公共点，则实数
的值是 *** ．

15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙
上一点
在直径
上的射影为
，且
，
，则⊙
的半径等于 *** ．

三、解答题（本大题共 6小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本题满分12分）

已知
分别是
的角
所对的边，且
，
．

（1）若
的面积等于
，求
；

（2）若
，求
的值．

17．（本题满分12分）

某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：
，
，
，
，
分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成
的列联表，并判断是否有
的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

附表：

P（
）

0.100

0.010

0.001



k

2.706

6.635

10.828




，

(其中
)

18．（本题满分14分）

如图，
是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过FB作圆柱的截面交下底面于
，已知
.

（1）证明：四边形
是平行四边形；

（2）证明：
；

（3）求三棱锥
的体积.

19．（本题满分14分）

已知
是数列
的前
项和，且满足
(其中
为常数，
，
)，已和
，且当
时，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若对于
，
，不等式
恒成立，求
的取值范围．

20．（本题满分14分）

已知
是实数，1和
是函数
的两个极值点．

（1）求
和
的值；

（2）设函数
的导函数
，求
的极值点；

（3）设
，其中
，求函数
的零点个数．

21．（本题满分14分）

如图，
为坐标原点，点
为抛物线
：
的焦点，且抛物线
上点
处的切线与圆
：
相切于点
．

（1）当直线
的方程为
时，求抛物线
的方程；

（2）当正数
变化时，记
分别为△FPQ，△FOQ的面积，求
的最小值．

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