理科保温练习一

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1、设集合
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2、复数
满足
，其中
为虚数单位，则在复平面上复数
对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、设
为等比数列
的前
项和，
，则
（ ）

A．11 B．5 C．
D．

4、某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的
值为15，则
等于（ ）

A．
B．

C．
D．

5已知
表示两个不同的平面，
为平面
内的一条直线，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 变量
、
满足条件
，则
的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）

A．
B．
C.
D．

8.如图，边长为1的正方形
的顶点
,
分别在
轴、
轴正半轴上移动，则
的最大值是 （ ）

A．
B.
C. 3 D. 4

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9.过点
且垂直于极轴的直线的极坐标方程为

10. 已知双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则此双曲线的离心率为 .

11. 已知
则
= .

12. 设函数
的最小值为
，则实数
的取值范围是

13.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有

种.

14. 如图，函数
(
)的图象经过点
、
、
，则
；
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15. (本小题满分13分)

已知向量m =
，向量n =
，且m与n的夹角为
，其中A、

B、C是
的内角.

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）求
的取值范围

16. (本小题满分13分)

某业余俱乐部由10名乒乓球队员和5名羽毛球队员组成，其中乒乓球队员中有4名女队员；羽毛球队员中有2名女队员，现采用分层抽样方法（按乒乓球队和羽毛球队分层，在每一层内采用简单随机抽样）从这15人中共抽取3名队员参加一项比赛．

（Ⅰ）求所抽取的3名队员中乒乓球队员、羽毛球队员的人数；

（Ⅱ）求从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率；

（Ⅲ）记
为抽取的3名队员中男队员人数，求
的分布列及数学期望.

17. (本小题满分14分)

已知
为等腰直角三角形，
，
，
、
分别是边
和
的中点，现将
沿
折起，使面

面
，
、
分别是边

和
的中点，平面
与
、
分别交于
、
两点．

（Ⅰ）求证：


；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）求
的长．

18. (本小题满分13分)

已知椭圆
的右焦点为
，
为椭圆的上顶点，
为坐标原点，且△
是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线
交椭圆于
，
两点， 且使点
为△
的垂心(即三角形三条高线的交点)？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．

19. (本小题满分14分)

设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）证明：当
时，
；

（Ⅲ）若当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．

20．(本小题满分13分)

正数列
的前
项和
满足：
，
，常数
.

（Ⅰ）求证：
为定值；

（Ⅱ）若数列
是一个周期数列（即存在非零常数
，使
恒成立），求该数列的最小正周期；

（Ⅲ）若数列
是一个各项为有理数的等差数列，求
.

理科保温练习一答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

A

D

C

D

B

D

D

A





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

题号

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）



答案









120

2；1



三、解答题：本大题共6小题，共80分．

15. (本小题满分13分)

解：（Ⅰ）
m =
，且与向量n = （2，0）所成角为
，

所以
.

整理得
，解得
或
.

由于角
为三角形的内角，则
.

则
…………………………..7分

(II)由（Ⅰ）知，
，所以
.

所以

=
=

因为
，所以
.

所以
，所以

………………… 13分

16. (本小题满分13分)

解：（Ⅰ）抽取乒乓球队员的人数为
人；

羽毛球队员的人数为
人. ………………………………………….. 2分

（Ⅱ）设“从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员”为事件
，

则
，

所以从乒乓球队抽取的队员中至少有1名女队员的概率为
.…………………….. 6分

（Ⅲ）
=

,

=
.

的分布列为

0

1

2

3


















.………………………………………… 13分

17. (本小题满分14分)

解： (Ⅰ)因为
、
分别是边
和
的中点，

所以
，

因为
平面
，
平面
，

所以
平面

因为
平面
，
平面
，平面

平面

所以

又因为
，

所以


. …………………………… 4分

(Ⅱ) 依题意
,
,
.

如图，以
为原点，分别以
所在直线为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，由题意得，
，
，
，

，
，
，

，
，

，

，

设平面
的一个法向量为
，则

，
，令
，解得
，
，则

设平面
的一个法向量为
，则

，
，令
，解得
，则

，

所以二面角
的余弦值为
…………………………… 8分

（Ⅲ）法（一）
，设

则
，解得
，

法（二）取
中点
，连接
交
于点
，连接
，
与
相似，

得
，易证
，所以
…………… 14分

18. (本小题满分13分)

解：（Ⅰ）由△
是等腰直角三角形，得
，
，故椭圆方程为
． …………… 4分

（Ⅱ）假设存在直线
交椭圆于
，
两点，且
为△
的垂心，

设
，
因为
，
，故
．

于是设直线
的方程为
，由
得
．

由
，得
， 且
,
．

由题意应有
，又
，

故
，得
．

即
．

整理得
．

解得
或
．

经检验，当
时，△
不存在，故舍去
．

当
时，所求直线
存在，且直线
的方程为
．…………… 13分

19. (本小题满分14分)

解：(Ⅰ) 定义域为
，

，

，
． …………… 3分

(Ⅱ)
，

设
，