理科保温练习二

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．若集合
，
，则 ( )

A．
B．
C．
D．

2．下列函数中，在区间
内有零点且单调递增的是（　　）

A.
B.
-1　　　　C.
　 　D.

3．如图所示的程序框图，若输入
，则输出的结果
（ ）

A．
B．
C．
D．



4．已知
,则“
”是“
”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（　　）

　 A．210种 B．180种 C． 120种 D． 95种

6．已知双曲线
的左顶点与抛物线
的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
,则双曲线的焦距为( )

A.
B.
C.
D.

7.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是

A.
B.
C.
D.

8.已知向量


，
，对任意
，恒有
，则（ ）

A.
B.
（
） C. （
）
D. （
）
（
）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．已知
为实数，
为虚数单位，若
为实数，则
.

10. 如图，两圆相交于C、E两点，CD为小圆的直径，B和A分别是DC和DE的延长线与大圆的交点，已知AE = 6，DE = 4，BC = 3，则AB =________________.

11．已知函数
（
>0,
）的图象如图所示，则
，
= .

12.已知



, 点
、点
满足
,则点
的轨迹方程是 ；点
的轨迹方程是 .

13．若直线
上存在点
满足约束条件
则实数
的取值范围是 .

14．将正整数按如图排列，其中处于从左到右第
列从下到上第
行的数记为
，

如
，
，则
_________；
__________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

已知函数
在区间
上的最大值为
．

(Ⅰ)求常数
的值；

（Ⅱ）在
中,角
所对的边长分别为
,若
,
,
面积为
,求边长
．

16．（本小题满分13分）

根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在
，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为
，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．

(Ⅰ)求
的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；

（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为X，求X的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．

17．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
、
、
分别为
、
、
的中点，
、
分别为线段
、
上的动点，且有
．

(Ⅰ)求证：
平面
；

（Ⅱ）当
为线段
的中点时，求
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角
为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．

18. （本小题满分13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线垂直于直线
，求
的值；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最小值.

19．（本小题满分14分）

已知
，
为椭圆
的左、右顶点，
为其右焦点，
是椭圆
上异于
，
的动点，且
面积的最大值为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程及离心率；

（Ⅱ）直线
与椭圆在点
处的切线交于点
，当直线
绕点
转动时，试判断

以
为直径的圆与直线
的位置关系，并加以证明．

20．（本小题满分13分）

设集合
，
是
的两个非空子集，且满足集合
中的最大数小于集合
中的最小数，记满足条件的集合对
的个数为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的表达式.

理科保温练习二答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答案

A

B

C

A

B

D

B

C





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

题号

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）



答案



6





;







三、解答题：本大题共6小题，共80分．

15. (本小题满分13分)

解答：(Ⅰ)

…4分

因为
,所以

所以当
即
时,函数
在区间
上取到最大值

此时,
,得
……………………7分

（Ⅱ）因为
,所以
,

即
,解得
（舍去）或

因为
,
,所以
．

因为
面积为
, 所以
,即
．

由①和②解得

因为
,所以
… …13分

16. (本小题满分13分)

(Ⅰ)由题意，得
解得

50个样本中空气质量指数的平均值为

由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6

（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在
内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则
.
的可能取值为0，1，2，

的分布列为：

0

1

2














.(或者
)，

故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为
天.

17. (本小题满分14分)

(Ⅰ)∵
平面
，

∴
，

又
，∴
面
.

又∵
，

∴
面
. ………………………………4分

（Ⅱ） 由已知
，以
为坐标原点，
所在直线为
轴，过
作平面
的垂线为
轴，作如图所示的坐标系.

则
，
，
，

，
，

设平面
的法向量为
，则

，令
，解得
.

∴
，

设
与平面
所成角为
，

则


.

则
与平面
所成角为
. ………………………………9分

（Ⅲ）

由条件可得，
即为二面角
的平面角；

若二面角
为直二面角，则
.

在直角三角形PCA中，设
，则
，

在
中，由余弦定理可得，

；

同理可得，
.

又由
，得
，解得
或
.

∴存在直二面角
，且CM的长度为1或
. ………………………14分

18. (本小题满分13分)

解: （Ⅰ）直线
的斜率为1.

函数
的导数为
，

则
，所以
. ………………………………5分

（Ⅱ）
，

.

①当
时，在区间
上
，此时
在区间
上单调递减，

则
在区间
上的最小值为
.

②当
，即
时，在区间
上
，此时
在区间
上单调递减，

则
在区间
上的最小值为
.

③当
，即
时，在区间
上
，此时
在区间
上单调递减；在区间
上
，此时
在区间
上单调递增；则
在区间
上的最小值为
.

④ 当
，即
时，在区间
上
，此时
在区间
上为单调递减，则
在区间