华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试

数学(文科) 试 题

命题人：汪 萍 高显政 审题人：殷希群 2015.5.25

本试卷共4页，共三大题22小题。全卷满分150分。考试时间120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生务必保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设a是实数，且
是实数，则

A．1 B．
C．
D．2

2．已知集合
，
，
，则
等于

A．6 B．7 C．8 D．9

3．下列说法中不正确的是

A．若命题
，使得
，则
，都有
；

B．存在无数个

，使得等式
成立；

C．命题“在
中，若
,则
”的逆否命题是真命题；

D．“
为真”是“
为真”的必要不充分条件．

在等比数列
中，公比
，且前
项和
，

则项数
等于

A．4 B．5 C．6 D．7

5．已知函数
的图像的一个对称中心是
，则函数

的图像的一条对称轴是

A．
B．
C．
D．

6．已知直线
与圆
交于
、
两点，点
在圆
上，且

，则满足条件的点
的个数为

A．
个 B．
个 C．
个 D．
个

7．已知某几何体的三视图如图所示，当
取得最大值时，

该几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

在平面直角坐标系
中，点
的坐标满足不等式组
，已知
，

且
的最小值为
，则实数

A．
B．
C．
D．

已知集合
，若对于任意实数对
，都存在

，使得

成立，则称集合
是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①
； ②
；③
；

④
,其中是“垂直对点集”的序号是

A．①④ B．②③ C．③④ D．②④

10．已知函数
满足
，
,则当
时,

A．有极大值,无极小值 B．有极小值,无极大值

C．既有极大值,也有极小值 D．既无极大值,也无极小值

二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．

11．要从已编号1~360的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本．

若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最小的编号为__________．

12． 已知
是两个单位向量，且
，向量
与
共线，则
的最小值为_______．

13．若执行如图所示的程序框图后，输出的结果是
，则判断框中的整数k的值是______．

在边长为2的正方形
内部任取一点
，则满足
的概率为________．

15．已知
，若
，则实数
的取值范围是__________．

已知
为抛物线
的焦点，抛物线的准线与双曲线
的

两条渐近线分别交于
、
两点．若
为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．

已知
，其中

，若动直线
与函数

的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为
,
,
．

（1）
的取值范围是________；

（2）当
取最大值时，
=_________．

三、解答题:本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a, b, c，且A，B，C成等差数列．

（1）若
，
，求
的值；

（2）求
的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知各项均不相等的等差数列
的前五项和
，且
成等比数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
为数列
的前
项和，若存在
，使得
成立．求实数
的

取值范围．

20．（本小题满分13分）

在三棱锥
中，
是等边三角形，
．

（1）证明：
；

（2）若
，且平面
平面
，求三棱锥
的体积．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
，其中
，
．

（1）求
的零点；

（2）求
的极值；

（3）如果
,
,
满足
，那么称
比
更靠近
．

当
且
时，试比较
和
哪个更靠近
，并说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知椭圆：
的一个焦点为
，且过点
，右顶点为
，经

过点
的动直线
与椭圆交于
两点．

（1）求椭圆方程；

（2）记
和
的面积分别为
，求
的最大值；

（3）在
轴上是否存在一点
，使得点
关于
轴的对称点落在直线
上？若存在，则

求出
点坐标；若不存在，请说明理由．

华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试

数学(文) 答案及评分标准

华中师大一附中高三年级数学组提供 2015.5

一、选择题
1-5
6-10

二、填空题

11.
12.
13.
14．

15.
16.
17 .
;

三、解答题

18．解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴
，又∵
，∴
，

∴
，∴
，即

∵
，
，∴
，即

∴
，
………………………………………………6分

（2）

∵
，∴

∴
的取值范围是
. ……………………………12分

19．解：（1）设
的公差为
，由已知得

即
，
，故
…………………………5分

（2）

………………………………………………7分

∵存在
，使得
成立

∴存在
，使得
成立

即
有解 ………………………………………………9分

而
,
时取等号

. ………………………………………………12分

20．解：（1）在
中

取
中点
，连结
,则

平面
，而
平面

………………………………………………6分

（2）在平面
内作
，垂足为
，连结

∵平面
平面
平面
，又
平面

，又

为等腰直角三角形 …………………………………………9分

设
，则

在
中：由
得
，解得

………………………………………………11分

. …………………………………………13分

21．解：（1）

，∴
，

∴
在
上是减函数，又

∴当
时，
；当
时，
.

∴
是
的唯一零点. ……………………………………………3分

（2）∵
，∴
，

∴
在
上为增函数，又
，

∴
时，
，
递减，当
时，
，
递增

∴
为
的极小值点，极小值为
，
无极大值.

………………………………………6分

（3）当
时，

设